Системы уравнений и неравенств
Система уравнений или неравенств задаёт несколько условий для одних и тех же неизвестных. Решить систему — значит найти все наборы значений, которые одновременно удовлетворяют каждому условию; поэтому множество решений системы является пересечением множеств решений отдельных уравнений или неравенств.
Основные понятия
Система записывается фигурной скобкой: несколько уравнений или неравенств объединяются общими неизвестными. Например, в системе \(\left\{\begin{array}{l}x+y=5,\\x-y=1\end{array}\right.\) числа \(x\) и \(y\) должны удовлетворять сразу двум равенствам.
Решением системы называют набор значений неизвестных, при подстановке которого все уравнения и неравенства системы становятся верными. Решить систему — значит найти все её шешімдер или доказать, что шешімдер нет.
Для системы с двумя неизвестными Шешім обычно записывают парой \((x;y)\). Если подходят несколько пар, записывают все пары. Если подходящих пар нет, говорят, что система не имеет решений. Если подходит бесконечно много пар, описывают множество решений, например \(y=2x-1\).
Множество шешімдер системы равно пересечению множеств шешімдер её отдельных условий. Для системы \(\left\{\begin{array}{l}A(x,y)=0,\\B(x,y)=0\end{array}\right.\) нужно найти точки, принадлежащие обоим множествам одновременно.
Это правило объясняет графический метод: каждое уравнение изображают своей линией или кривой, а решения системы — это общие точки графиков. Подробный алгоритм приведён на странице графического шешімдер системы.
Равносильные преобразования
При решении системы преобразуют её так, чтобы множество решений не изменилось. Такие преобразования называют равносильными. Перед применением приёмов полезно повторить свойства равносильных уравнений и равносильных неравенств.
- Можно прибавить или вычесть одно и то же выражение из обеих частей уравнения.
- Можно умножить или разделить обе части уравнения на одно и то же ненулевое число.
- Можно заменить уравнение или неравенство следствием, если отдельно проверить ограничения и возможную потерю решений.
- В системе можно выразить одну переменную через другую и подставить полученное выражение в остальные условия.
При умножении или делении неравенства на отрицательное число знак меняется на противоположный: \(a<b\Rightarrow -a>-b\). При делении на выражение с неизвестной сначала нужно выяснить его знак и убедиться, что оно не равно нулю.
Для систем с корнями, дробями, логарифмами и другими ограничениями особенно важна область допустимых значений. Такие случаи разобраны на страницах систем о уравнениями с корнями, систем о уравнениями с дробями и специализированных страницах о показательных, логарифмических и тригонометрических системах.
Методы шешімдер систем уравнений
Выбор метода зависит от вида системы. На экзамене выгодно использовать способ, который быстрее приводит к одному уравнению с одной неизвестной.
- Подстановка. Из одного уравнения выражают переменную и подставляют в другое. Метод особенно удобен, если переменная уже имеет простой коэффициент или стоит отдельно.
- Сложение или вычитание. Уравнения складывают или вычитают после умножения на подходящие числа, чтобы уничтожить одну переменную.
- Замена. Повторяющееся выражение обозначают новой переменной: например, \(t=x+y\). После шешімдер возвращаются к исходным переменным.
- Графический метод. Строят графики и находят их общие точки. Он нагляден, но при приблизительном чтении графика координаты нужно проверять подстановкой.
Подробные алгоритмы подстановки, сложения и замены находятся на страницах метода подстановки, метода сложения и метода замены. Для систем с модулем используют разбор случаев; см. системы с модулями.
Что является решением системы \(\left\{\begin{array}{l}y=x+1,\\y=2x-2\end{array}\right.\)?
Разобранный пример: метод сложения
Решим систему и выполним обязательную проверку:
Коэффициенты при \(y\) противоположны: \(3\) и \(-3\). Поэтому при сложении уравнений переменная \(y\) исчезнет.
Жауабы: \((3;\frac{7}{3})\). Проверка в обоих уравнениях подтверждает, что пара является решением системы.
Системы неравенств
В системе неравенств нужно найти значения переменной, которые удовлетворяют всем неравенствам одновременно. На числовой прямой каждое неравенство задаёт промежуток, а ответом является их общая часть.
Круглая скобка означает, что граница не входит в ответ, а квадратная — что входит. Если промежутки не пересекаются, система не имеет решений. Если одно множество целиком содержится в другом, ответом будет меньшее множество.
Решите каждое неравенство отдельно, изобразите ответы на одной числовой прямой и выделите участок, отмеченный во всех строках. Не объединяйте промежутки: для системы требуется пересечение, а не объединение.
Проверка и типичные ошибки
Проверка особенно нужна после возведения в квадрат, умножения на выражение с неизвестной, сокращения дробей и деления на переменную. В таких преобразованиях могут появиться посторонние решения или исчезнуть допустимые значения.
1. Найдено решение только одного уравнения, но не проверено второе. 2. В ответ записано объединение промежутков вместо пересечения. 3. При делении не учтено, что делитель может быть нулём. 4. При решении неравенства на отрицательное число знак не поменяли. 5. После получения корней не проверили ОДЗ. 6. В графическом ответе координаты считали приблизительно и не подставили их в исходную систему.
Если требуется найти целые решения, после решения системы нужно оставить только целые точки или целые значения переменной. Такой отбор подробно рассматривается на странице целых шешімдер системы. Для специальных видов систем полезно знать также симметрические системы и теорему о рациональных корнях.
Жылдам тест
Проверь себя
Главное
- Шешім системы — набор значений, удовлетворяющий всем её условиям одновременно.
- Множество шешімдер системы является пересечением множеств шешімдер отдельных уравнений или неравенств.
- Для систем уравнений применяют подстановку, сложение, замену и графический метод.
- В системе неравенств ответ получают пересечением промежутков; при умножении или делении на отрицательное число знак меняется.
- После преобразований с ОДЗ, квадратами, дробями или модулями обязательно проверяйте найденные решения в исходной системе.