Графическое Шешім системы
Графический способ позволяет решить систему уравнений, если каждое её уравнение можно представить как зависимость \(y\) от \(x\). Решениями системы будут координаты всех точек, принадлежащих одновременно графикам обеих функций, то есть координаты их точек пересечения.
Идея графического метода
Рассмотрим систему двух уравнений с переменными \(x\) и \(y\). Сначала преобразуем каждое уравнение к виду \(y=f(x)\) и \(y=g(x)\). Затем строим графики функций на одной координатной плоскости. Общая точка графиков имеет координаты \((x_0;y_0)\), поэтому одновременно выполняет оба уравнения системы.
Графическим решением системы называют координаты точек пересечения графиков уравнений системы. Если точек пересечения несколько, система имеет несколько решений.
Таким образом, графический метод связан с решением уравнения \(f(x)=g(x)\): абсциссы точек пересечения являются корнями этого уравнения, а соответствующие ординаты находятся подстановкой \(y=f(x)\) немесе \(y=g(x)\). Эта связь особенно полезна для проверки ответа.
Алгоритм шешімдер системы
- Выразить одну переменную через другую, обычно получить вид \(y=f(x)\) для каждого уравнения.
- Определить вид графиков: прямая, парабола, гипербола, окружность или другой знакомый график.
- Построить оба графика в одной системе координат. Для точного построения выбрать несколько удобных значений \(x\) и вычислить \(y\).
- Найти координаты общих точек графиков. Если требуется только графический ответ, координаты можно считать по клеткам или шкале.
- Записать шешімдер системы парами \((x;y)\) и проверить их подстановкой в исходные уравнения.
Если графики пересекаются в одной точке, система имеет одно решение. Если они не пересекаются, решений нет. Если графики имеют две или более общих точек, системе соответствует столько решений, сколько точек пересечения.
Важно различать точку пересечения с пересечением графика с осью. Точка на оси \(Ox\) имеет ординату \(y=0\), а точка на оси \(Oy\) — абсциссу \(x=0\). Шешім системы возникает только там, где совпадают значения обеих функций.
Для прямой достаточно найти две точки. Для параболы удобно отметить вершину и несколько симметричных точек. Для гиперболы учитывайте её асимптоты. Если график получен сдвигом известной функции, сначала определите этот сдвиг, а затем нанесите характерные точки.
Какие графики встречаются чаще всего
| Уравнение | График | Что важно |
|---|---|---|
| \(y=kx+b\) | Прямая | \(k\) — угловой коэффициент, \(b\) — ордината точки пересечения с осью \(Oy\). |
| \(y=ax^2+bx+c\) | Парабола | Вершина имеет абсциссу \(x_0=-\frac{b}{2a}\). |
| \(y=\frac{k}{x}\) | Гипербола | Оси координат являются асимптотами при \(k\ne0\). |
| \(x^2+y^2=r^2\) | Окружность | Центр — начало координат, радиус — \(r\). |
| \(y=\sqrt{x}\) | Ветвь параболы | Область определения: \(x\ge0\), значения: \(y\ge0\). |
Иногда одно уравнение уже задано не как \(y=f(x)\), а, например, как \(x^2+y^2=9\). В этом случае оно задаёт окружность. Необязательно выражать \(y\) через \(x\): достаточно знать форму графика и построить её по уравнению.
Что означают координаты общей точки двух графиков?
Разобранный пример
Решим систему графически и проверим полученные точки:
Первое уравнение задаёт параболу с вершиной \((0;-4)\). Второе — прямую с угловым коэффициентом \(2\), пересекающую ось \(Oy\) в точке \((0;-1)\). Графики могут пересечься в двух точках.
Следовательно, система имеет два шешімдер: \((3;5)\) и \((-1;-3)\). Графически это две точки, в которых парабола и прямая пересекаются.
Показать проверку Проверка
Для точки \((3;5)\): \(5=3^2-4=5\) и \(5=2\cdot3-1=5\). Для точки \((-1;-3)\): \(-3=(-1)^2-4\) и \(-3=2\cdot(-1)-1\). Обе пары удовлетворяют каждому уравнению.
Особые случаи и точность ответа
Две прямые могут пересекаться в одной точке, быть параллельными или совпадать. В первом случае система имеет одно решение, во втором — не имеет решений, в третьем — имеет бесконечно много решений. При построении по рисунку последнее различие определяется по совпадению всех точек графиков.
Количество решений системы равно количеству общих точек её графиков. Поэтому касание графиков даёт одно решение, даже если они имеют общий участок только в одной точке.
Если координаты считываются с рисунка, следите за масштабом осей: единичные отрезки на осях могут быть разными. Приближённые координаты допустимы только тогда, когда условие прямо предполагает чтение по графику. В остальных случаях найденные координаты нужно вычислить точно.
1. Считать решением координаты любой точки одного графика. 2. Записывать только абсциссы и забывать найти \(y\). 3. Перепутать порядок координат: Шешім записывают как \((x;y)\). 4. Построить графики в разных системах координат. 5. Не учитывать область определения, например при \(y=\sqrt{x}\) немесе \(y=\frac{1}{x}\). 6. Қате прочитать масштаб или округлить координаты слишком рано.
Когда графический метод особенно удобен
Метод удобен, когда графики являются знакомыми линиями и точки пересечения имеют простые координаты. Он также помогает понять число решений системы, даже если точные координаты вычислять трудно. Например, по взаимному расположению прямой и параболы можно увидеть, что решений нет, одно или два.
Однако рисунок не всегда даёт точные значения. Если точка находится между делениями, график используют для оценки, а точное решение находят алгебраически: подстановкой, сложением уравнений или другим способом шешімдер систем. Для систем с дробями полезно повторить рациональные системы, а при выражениях с корнями — иррациональные системы.
В задачах с параметром число точек пересечения может изменяться. Тогда важно отслеживать момент, когда графики касаются друг друга; этому посвящена страница о параметре и касании графиков. При построении параболы пригодятся сведения о многочленах и их коэффициентах.
Итоговая самопроверка
Проверь понимание темы
Главное
- Преобразуйте уравнения к виду функций или определите знакомый вид их графиков.
- Шешімдер системы — координаты общих точек графиков.
- Число шешімдер равно числу точек пересечения.
- Записывайте шешімдер парами \((x;y)\) и проверяйте их в исходной системе.
- Если рисунок даёт только приближённые координаты, для точного ответа используйте алгебраическую проверку.