Параметр и касание графиков
Касание графиков — это ситуация, когда графики двух функций имеют общую точку и одну общую касательную. В уравнениях с параметром такое условие помогает найти значение параметра, при котором число решений изменяется.
Условие касания
Чтобы исследовать уравнение с параметром, его часто представляют как пересечение графиков: \(f(x)=g(x,a)\). Каждое решение уравнения соответствует общей точке графиков. Если при изменении параметра графики касаются, две точки пересечения могут слиться в одну; после этого число решений обычно меняется.
Здесь \(x_0\) — абсцисса точки касания, а \(a\) — искомый параметр. Сначала решают систему относительно \(x_0\) и \(a\), затем проверяют найденные значения и учитывают область допустимых значений.
Найдём значение \(a\), при котором уравнение \(x^2=a x+1\) имеет касание графиков \(y=x^2\) и \(y=ax+1\). Условия: \(x_0^2=ax_0+1\) и \(2x_0=a\). Подставим \(a=2x_0\) в первое равенство: \(x_0^2=2x_0^2+1\), поэтому \(x_0^2=-1\). Действительного решения нет. Значит, при действительном \(a\) касания не происходит. Такой вывод показывает, что условие касания нужно не подставлять формально, а проверять на действительность.
Касание — не то же самое, что просто пересечение. В общей точке достаточно равенства значений функций, а при касании дополнительно должны совпадать производные. Изменение числа корней изучают в теме количество корней, а сам способ относится к графическому методу уравнений с параметром. Перед этим полезно вспомнить графическое решение системы.
Какие два равенства задают касание графиков \(y=f(x)\) и \(y=g(x,a)\) в точке \(x_0\)?
Главное
- Касание означает общую точку и одинаковые производные в ней.
- Параметр находят из системы \(f(x_0)=g(x_0,a)\) и \(f'(x_0)=g_x'(x_0,a)\).
- После решения системы нужно проверить действительность найденных значений и область допустимых значений.