ЕГЭОГЭЕНТ
РУҚА
Задания № 18, 19 · ЕГЭ

Параметр и количество корней

Как по значению параметра определить число решений уравнения
6 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Параметр — это заданное число, значение которого меняет вид уравнения или положение его графика. В задачах на количество корней нужно не просто решить уравнение, а установить, при каких значениях параметра оно имеет заданное число решений. Тема является частью страницы уравнений с параметрами и опирается на понятие количества корней уравнения.

1. Что означает количество корней

Рассмотрим уравнение с неизвестной \(x\) и параметром \(a\): \(F(x,a)=0\). При каждом фиксированном значении \(a\) это обычное уравнение относительно \(x\). Его решениями являются такие значения \(x\), которые удовлетворяют уравнению. Число решений может зависеть от параметра: например, при одном \(a\) корней нет, при другом — один, а при третьем — два.

D
Параметр и число решений

Параметр — переменная, значение которой в конкретной задаче считается фиксированным. Исследовать число корней — значит разбить множество допустимых значений параметра на промежутки и отдельные точки, на которых число решений одинаково.

Главная идея исследования: преобразовать уравнение к виду, где одна часть зависит только от \(x\), а другая — только от \(a\). Затем сравнить графики или область значений функций. При преобразованиях нельзя терять ограничения: область определения, запрет деления на ноль и условия, возникающие после возведения в квадрат.

2. Основные способы исследования

Выбор метода зависит от вида уравнения. На практике используются четыре основных подхода.

  1. Алгебраический: выразить параметр через \(x\), получить функцию \(a=f(x)\) и изучить, сколько раз горизонтальная прямая \(a=const\) пересекает её график.
  2. Графический: представить уравнение как \(f(x)=g(x,a)\) и исследовать пересечения графиков. Подробный приём описан на странице графический метод уравнений с параметром.
  3. Через дискриминант: для квадратного уравнения использовать знак \(D\). Этот способ особенно удобен, если коэффициенты зависят от параметра.
  4. Через монотонность и область значений: доказать, что функция принимает нужные значения один, два или ни разу. При необходимости полезна страница область значений параметра.
\[D=b^2-4ac;\qquad \begin{cases}D<0 &\Rightarrow 0\text{ действительных корней},\\D=0 &\Rightarrow 1\text{ действительный корень},\\D>0 &\Rightarrow 2\text{ различных действительных корня}. \end{cases}\]1

Для квадратного уравнения \(ax^2+bx+c=0\) формула дискриминанта работает только при \(a\ne0\). Если старший коэффициент может обращаться в ноль, точку \(a=0\) нужно рассматривать отдельно: уравнение может стать линейным или вообще потерять смысл.

T
Критические значения параметра

Число корней может измениться только в особых ситуациях: графики касаются друг друга, корень попадает на границу области определения, коэффициент при старшей степени становится нулём или возникает запрещённое деление на ноль. Такие значения называют критическими; их нужно найти и проверить отдельно.

3. Алгоритм решения

  1. Записать область допустимых значений переменной и параметра, если она задана.
  2. Привести уравнение к удобному виду, не выполняя необратимых преобразований без проверки.
  3. Найти критические значения параметра: нули знаменателей и коэффициентов, границы ОДЗ, условия касания или нулевой дискриминант.
  4. Разбить числовую ось параметра найденными точками на промежутки.
  5. Для каждого промежутка определить число корней; критические точки проверить отдельно.
  6. Сформулировать ответ именно в требуемом виде: значения параметра, при которых корней ровно \(n\), нет корней или корней бесконечно много.
Как не запутаться в промежутках

Не обязательно подставлять много чисел. Если число корней меняется только в критических точках, достаточно выбрать по одному контрольному значению из каждого промежутка, определить число корней и затем отдельно исследовать границы.

Микропроверка

Для каких значений \(a\) квадратное уравнение \(x^2-2x+a=0\) имеет ровно один действительный корень?

4. Разобранный пример

Исследуем, при каких значениях параметра \(a\) уравнение \(x^2-2ax+4=0\) имеет ровно два, один или ни одного действительного корня. Это типичная задача уровня экзамена: количество корней определяется параметром через дискриминант.

№
Пример

Найти число корней уравнения \(x^2-2ax+4=0\) в зависимости от \(a\).

1
Уравнение квадратное относительно \(x\), так как коэффициент при \(x^2\) равен \(1\ne0\). Находим дискриминант.
\(\displaystyle D=(-2a)^2-4\cdot1\cdot4=4a^2-16=4(a^2-4)\)
2
Число корней определяется знаком дискриминанта. Найдём значения параметра, при которых дискриминант равен нулю.
\(\displaystyle 4(a^2-4)=0\quad\Longleftrightarrow\quad a^2=4\quad\Longleftrightarrow\quad a=\pm2\)
3
Разберём знак выражения \(a^2-4\). Оно положительно вне отрезка \([-2;2]\), равно нулю на его концах и отрицательно внутри.
\(\displaystyle D>0\iff a<-2\text{ или }a>2\)
4
Переводим знак дискриминанта в число корней.
\(\displaystyle \begin{aligned} &a<-2\text{ или }a>2 &&\Rightarrow 2\text{ корня};\\ &a=-2\text{ или }a=2 &&\Rightarrow 1\text{ корень};\\ &-2<a<2 &&\Rightarrow 0\text{ корней}.\end{aligned}\)
\[\boxed{\begin{aligned}2\text{ корня}:&\ a\in(-\infty,-2)\cup(2,+\infty);\\1\text{ корень}:&\ a\in\{-2,2\};\\0\text{ корней}:&\ a\in(-2,2). \end{aligned}}\]2

Проверка на границах обязательна. Например, при \(a=2\) уравнение принимает вид \(x^2-4x+4=0\), то есть \((x-2)^2=0\): корень действительно один. При \(a=0\) получаем \(x^2+4=0\), действительных корней нет.

−4−3−2−11234−20−101020304050xy0y = 4·(x² − 4)
График дискриминанта \(D(a)=4(a^2-4)\): нули при \(a=-2\) и \(a=2\) разделяют случаи по числу корней.

5. Не только дискриминант

Если параметр входит не в коэффициенты квадратного уравнения, а, например, в правую часть, полезно рассматривать функцию. Уравнение \(f(x)=a\) означает поиск пересечений графика \(y=f(x)\) с горизонтальной прямой \(y=a\). Число корней равно числу таких пересечений.

\[f(x)=a\quad\Longleftrightarrow\quad \text{точки пересечения графиков }y=f(x)\text{ и }y=a.\]

Например, для \(x^2=a\) при \(a<0\) решений нет, при \(a=0\) одно решение, а при \(a>0\) два решения. Причина видна и алгебраически, и графически: парабола \(y=x^2\) имеет минимальное значение \(0\).

T
Принцип монотонности

Если функция \(f(x)\) строго возрастает или строго убывает на промежутке, то уравнение \(f(x)=a\) имеет на этом промежутке не более одного корня. Чтобы доказать существование корня, дополнительно проверяют, попадает ли \(a\) в область значений функции.

В более сложных задачах после замены переменной может появиться несколько промежутков монотонности. Тогда число решений складывается по промежуткам, но корни на границе нельзя посчитать дважды. При работе с модулями, логарифмами и корнями особенно важны ОДЗ; полезно повторить параметр и множество решений и затем перейти к параметру и касанию графиков.

!
Частые ошибки

1. Считают корень кратности два как два различных корня: при \(D=0\) корень один. 2. Не рассматривают случай, когда коэффициент при \(x^2\) равен нулю. 3. Делят на выражение с параметром и забывают случай, когда оно равно нулю. 4. После возведения в квадрат не выполняют проверку в исходном уравнении. 5. Указывают только промежутки и пропускают критические точки. 6. Путают число действительных корней с количеством корней с учётом кратности.

6. Быстрая проверка перед ответом

  • Я выписал область допустимых значений переменной.
  • Я нашёл все критические значения параметра.
  • Я отдельно проверил точки, где меняется тип уравнения или знак дискриминанта.
  • Я различаю один кратный корень и два различных корня.
  • Я проверил полученные значения в исходном уравнении.
Q
Быстрый тест по теме

Quick-test

~ 2 мин4 вопроса
Вопрос 1 / 4
Вопрос 1 из 4 · дискриминант
Сколько действительных корней имеет \(x^2+6x+9=0\)?
Главное за минуту

Главное

  • Фиксируйте параметр и рассматривайте уравнение относительно неизвестной.
  • Ищите критические значения: нули дискриминанта, запрещённые значения, границы ОДЗ и вырождение старшего коэффициента.
  • Для квадратного уравнения используйте знак дискриминанта: \(D<0\), \(D=0\), \(D>0\).
  • При графическом методе число корней — это число пересечений графиков.
  • Критические точки проверяйте отдельно, а после преобразований возвращайтесь к исходному уравнению.