Задания № 18, 19 · ЕГЭ

Количество корней уравнения

Как установить число решений уравнения по его виду, графику и параметрам

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Количество корней уравнения — это число различных значений неизвестной, которые превращают уравнение в верное равенство. Оно может быть равным нулю, одному, нескольким значениям или бесконечности.

Число всех различных решений данного уравнения на указанном множестве допустимых значений переменной. Перед подсчётом корней учитывают область допустимых значений и проверяют полученные решения.

Как определить число корней

Сначала находят корни уравнения обычным способом и считают только различные допустимые значения. Если уравнение содержит параметр, число корней может зависеть от его значения. В таком случае рассматривают отдельные случаи: например, когда коэффициент при неизвестной равен нулю, дискриминант равен нулю или выражение под знаком модуля меняет знак.

Графически уравнение \(f(x)=g(x)\) решают по точкам пересечения графиков \(y=f(x)\) и \(y=g(x)\). Число таких точек равно числу корней. Для уравнения \(f(x)=0\) достаточно определить, сколько раз график \(y=f(x)\) пересекает ось \(Ox\).

\[N=\text{число точек пересечения графиков }y=f(x)\text{ и }y=g(x).\]

№

Пример

Уравнение \(x^2=4\) имеет два корня: \(x=-2\) и \(x=2\). Графики \(y=x^2\) и \(y=4\) пересекаются в двух точках, поэтому количество корней равно \(2\).

Не путайте

Число корней — это не количество записей после преобразований. Один и тот же корень нельзя считать дважды. Кроме того, преобразования с возведением в квадрат или умножением на выражение, которое может быть равно нулю, способны добавить посторонние корни или изменить область допустимых значений.

Проверьте себя

Сколько действительных корней имеет уравнение \((x-3)^2=0\)?

Квадратное уравнение

Для квадратного уравнения \(ax^2+bx+c=0\), где \(a\ne0\), число действительных корней определяют по дискриминанту \(D=b^2-4ac\):

если \(D<0\), действительных корней нет;
если \(D=0\), есть один действительный корень;
если \(D>0\), есть два различных действительных корня.

При наличии параметра эти условия применяют после выделения случаев, в которых уравнение перестаёт быть квадратным. Такие задачи подробно рассматриваются в статье «Параметр и количество корней».

Главное за минуту

Главное

Количество корней — это число различных допустимых решений.
Графически корни соответствуют точкам пересечения графиков.
Для квадратного уравнения число действительных корней определяется знаком дискриминанта.