Задание № 13 · ЕГЭ

Многочлен и его коэффициенты

Стандартная форма, степень и коэффициенты многочлена

3 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Многочлен — это выражение, составленное из степеней переменной с числовыми коэффициентами, соединённых знаками сложения или вычитания. По его стандартной форме можно определить степень, старший коэффициент и свободный коэффициент.

Многочлен одной переменной \(x\) — это выражение вида \(a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0\), где \(n\) — неотрицательное целое число, а \(a_n,\dots,a_0\) — числа. Если многочлен записан по убывающим степеням переменной, такая запись называется стандартной формой. Числа \(a_n,\dots,a_0\) — коэффициенты многочлена.

Основные характеристики

Степень многочлена — наибольшая степень переменной среди его ненулевых членов. Коэффициент при члене с наибольшей степенью называется старшим коэффициентом. Член с этой степенью — старший член многочлена. Число без переменной называется свободным коэффициентом: это \(a_0\).

\[P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0,\qquad a_n\ne0\]

Например, в записи \(P(x)=4x^3-2x^2+7x-5\) степень равна \(3\), старший коэффициент — \(4\), а свободный коэффициент — \(-5\). Если какой-либо член отсутствует, его коэффициент равен нулю: в многочлене \(x^4-3x+2\) коэффициенты при \(x^3\) и \(x^2\) равны \(0\).

№

Пример

Приведём выражение \(6-2x^3+x\) к стандартной форме: \(-2x^3+x+6\). Степень многочлена — \(3\), старший коэффициент — \(-2\), свободный коэффициент — \(6\).

Не перепутайте

Степень многочлена — это не количество его слагаемых. Например, у \(x^5+x+1\) три слагаемых, но степень равна \(5\). Кроме того, старший коэффициент не обязан быть равен \(1\): в \(-7x^2+4\) он равен \(-7\). При работе с корнями многочлена сначала полезно привести выражение к стандартной форме.

Проверьте себя

Каковы степень и свободный коэффициент многочлена \(3x^4-5x^2+1\)?

Эти характеристики используют при преобразованиях и решении задач, связанных с разложением многочлена на множители, а также при применении теоремы Безу.

Главное за минуту

Главное

Стандартная форма многочлена — запись по убывающим степеням переменной.
Степень — наибольшая степень переменной; старший коэффициент стоит при старшем члене.
Свободный коэффициент — член без переменной, то есть число \(a_0\).