Теорема Безу
Теорема Безу утверждает: остаток от деления многочлена \(P(x)\) на линейный двучлен \(x-a\) равен значению этого многочлена при \(x=a\), то есть \(P(a)\). Поэтому остаток можно найти без выполнения деления столбиком.
Формула и следствие
Чтобы найти остаток при делении на \(x-a\), достаточно подставить число \(a\) в многочлен. Важно учитывать знак: если делитель имеет вид \(x+3\), его нужно записать как \(x-(-3)\), поэтому вычисляют \(P(-3)\). Теорема также связывает деление с корнями многочлена: число \(a\) является корнем \(P(x)\) тогда и только тогда, когда \(P(a)=0\), а значит, многочлен делится без остатка на \(x-a\).
Найдём остаток при делении \(P(x)=2x^3-x+5\) на \(x-2\). Подставляем \(a=2\): \(P(2)=2\cdot2^3-2+5=16-2+5=19\). Значит, остаток равен \(19\). Если требуется проверить делимость, полученный остаток должен быть равен нулю.
При делении на \(x+a\) подставляют \(-a\), а не \(a\). Например, остаток при делении на \(x+4\) равен \(P(-4)\). Теорема Безу не говорит, что остаток всегда равен нулю: нулевой остаток получается только при делимости, как при разложении на множители.
Чему равен остаток при делении \(P(x)=x^2+3x+1\) на \(x+2\)?
Главное
- Остаток при делении \(P(x)\) на \(x-a\) равен \(P(a)\).
- Для делителя \(x+a\) нужно вычислять \(P(-a)\).
- \(P(a)=0\) тогда и только тогда, когда \(x-a\) — делитель многочлена, а \(a\) — его корень.