Задание № 9 · ОГЭ

Биквадратное уравнение

Определение, формула и решение уравнений вида $ax^4+bx^2+c=0$

3 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Биквадратное уравнение — это уравнение, в котором неизвестная входит только в четвёртых и вторых степенях: $ax^4+bx^2+c=0$. Его решают заменой $t=x^2$, после чего получают квадратное уравнение относительно $t$.

Биквадратное уравнениеНазвание связано с тем, что старшая степень неизвестной равна четырём, то есть квадрату квадрата: $x^4=(x^2)^2$.

Уравнение вида $ax^4+bx^2+c=0$, где $a\ne0$, называется биквадратным. После замены $t=x^2$ оно сводится к квадратному уравнению $at^2+bt+c=0$.

Формула и алгоритм решения

Сначала вводят новую переменную $t=x^2$. Решают полученное квадратное уравнение и учитывают ограничение $t\ge0$, потому что квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Для каждого найденного значения $t$ возвращаются к замене: если $t>0$, то $x=\pm\sqrt{t}$; если $t=0$, то $x=0$; если $t<0$, действительных корней нет.

\[t=x^2,\qquad at^2+bt+c=0,\qquad x=\pm\sqrt{t}\text{ при }t>0\]

№

Пример

Решим уравнение $x^4-5x^2+4=0$. Введём $t=x^2$: $t^2-5t+4=0$. Разложим на множители: $(t-1)(t-4)=0$, поэтому $t=1$ или $t=4$. Оба значения допустимы. Тогда $x=\pm1$ или $x=\pm2$. Ответ: $-2,-1,1,2$.

Не перепутайте

После замены нельзя считать любое найденное значение $t$ корнем исходного уравнения. Нужно проверить условие $t\ge0$ и обязательно вернуться к $x^2=t$. Например, из $t=-9$ действительных значений $x$ получить нельзя.

Проверь себя

Сколько действительных корней имеет уравнение $x^4-10x^2+9=0$?

Главное за минуту

Главное

Биквадратное уравнение имеет вид $ax^4+bx^2+c=0$, где $a\ne0$.
Замена $t=x^2$ сводит его к квадратному уравнению; затем нужно учитывать условие $t\ge0$.
Каждое положительное значение $t$ даёт два корня $x=\pm\sqrt t$, а $t=0$ — один корень $x=0$.

Формула и алгоритм решения

Сколько действительных корней имеет уравнение \(x^4-10x^2+9=0\)?

Главное