Квадратное уравнение
Квадратное уравнение — это алгебраическое уравнение, в котором неизвестная встречается во второй степени. Его решают приведением к стандартному виду, разложением на множители, по дискриминанту или с помощью теоремы Виета.
Виды квадратных уравнений
Если \(a=1\), уравнение называют приведённым: \(x^2+px+q=0\). Если \(a\ne1\), оно является неприведённым. Уравнение, в котором один из коэффициентов \(b\) или \(c\) равен нулю, называют неполным квадратным уравнением.
Перед решением уравнение часто приводят к стандартному виду с помощью преобразований уравнений: раскрывают скобки, переносят слагаемые и приводят подобные.
Основная формула
Количество действительных корней определяет дискриминант квадратного уравнения:
- \(D>0\) — два различных действительных корня.
- \(D=0\) — один действительный корень \(x=-\frac{b}{2a}\).
- \(D<0\) — действительных корней нет.
Решим \(x^2-5x+6=0\). Здесь \(a=1\), \(b=-5\), \(c=6\). Можно разложить левую часть: \((x-2)(x-3)=0\). Поэтому \(x=2\) или \(x=3\). Проверка по теореме Виета: сумма корней равна \(5\), произведение — \(6\).
Квадратное уравнение обязательно имеет ненулевой коэффициент при \(x^2\): \(a\ne0\). Если \(a=0\), уравнение становится линейным, а не квадратным. Также число корней зависит от множества: при \(D<0\) действительных корней нет, хотя комплексные корни существуют.
Сколько действительных корней имеет уравнение \(x^2+4x+4=0\)?
Главное
- Квадратное уравнение имеет вид \(ax^2+bx+c=0\), где \(a\ne0\).
- Число действительных корней находят по дискриминанту \(D=b^2-4ac\).
- Решать уравнение можно по формуле корней, разложением на множители или по теореме Виета.