Задание № 7 · ОГЭ

Теорема Виета

Связь корней квадратного уравнения с его коэффициентами

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Теорема Виета связывает корни квадратного уравнения с его коэффициентами. Она позволяет быстро найти сумму и произведение корней, а иногда — подобрать корни без вычисления дискриминанта.

Теорема Виета

Если приведённое квадратное уравнение \(x^2+px+q=0\) имеет корни \(x_1\) и \(x_2\), то сумма корней равна противоположному коэффициенту при \(x\), а произведение корней равно свободному члену: \(x_1+x_2=-p\), \(x_1\cdot x_2=q\). Для неприведённого уравнения \(ax^2+bx+c=0\), где \(a\ne0\), справедливы равенства \(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\) и \(x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\).

Формулы

\[x^2+px+q=0\quad\Rightarrow\quad\begin{cases}x_1+x_2=-p,\\x_1\cdot x_2=q.\end{cases}\]1

Перед применением теоремы уравнение удобно привести к виду \(x^2+px+q=0\): разделить все его коэффициенты на \(a\). Если корни уже известны, по этим формулам можно составить квадратное уравнение с заданными корнями.

№

Пример

Рассмотрим уравнение \(x^2-7x+12=0\). По теореме Виета корни должны иметь сумму \(7\) и произведение \(12\). Это числа \(3\) и \(4\): \(3+4=7\), \(3\cdot4=12\). Следовательно, корни уравнения — \(x_1=3\) и \(x_2=4\).

Не перепутайте знаки

В формуле сумма корней равна не \(p\), а \(-p\). Например, в уравнении \(x^2+5x+6=0\) сумма корней равна \(-5\), а произведение — \(6\). Теорема Виета не заменяет дискриминант во всех случаях: если корни не подбираются устно, уравнение можно решить стандартным способом.

Проверьте себя

Какими должны быть сумма и произведение корней уравнения \(x^2-9x+20=0\)?

Главное за минуту

Главное

Для \(x^2+px+q=0\): \(x_1+x_2=-p\), \(x_1\cdot x_2=q\).
Для \(ax^2+bx+c=0\): \(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\), \(x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\).
Теорема помогает подбирать корни и проверять решение квадратного уравнения.