Теорема об обратных корнях
Теорема об обратных корнях позволяет быстро получить уравнение, корнями которого являются числа, обратные корням данного квадратного уравнения. Для этого коэффициенты исходного уравнения записывают в обратном порядке.
Формула
Буква \(t\) обозначает новую переменную. Она нужна, чтобы не смешивать исходные корни \(x_1,x_2\) и обратные корни \(\frac{1}{x_1},\frac{1}{x_2}\). Формула следует из теоремы Виета: для исходного уравнения \(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\) и \(x_1x_2=\frac{c}{a}\). Для обратных корней их сумма равна \(\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=-\frac{b}{c}\), а произведение — \(\frac{1}{x_1x_2}=\frac{a}{c}\).
Дано уравнение \(2x^2-5x+3=0\). Его корни ненулевые, поэтому меняем коэффициенты местами: получаем \(3t^2-5t+2=0\). Корни этого уравнения — числа, обратные корням исходного. Действительно, исходные корни равны \(1\) и \(\frac{3}{2}\), а новые — \(1\) и \(\frac{2}{3}\).
Теорема применяется только при \(c\ne0\): если свободный член равен нулю, одним из корней исходного уравнения является \(0\), а обратного числа для нуля не существует. Не следует также путать обратный корень \(\frac{1}{x}\) с противоположным корнем \(-x\).
Какое уравнение имеет корнями числа, обратные корням уравнения \(3x^2+7x-2=0\)?
Главное
- Для \(ax^2+bx+c=0\) обратные корни находятся как корни уравнения \(ct^2+bt+a=0\).
- Требуется \(c\ne0\), потому что исходные корни должны быть ненулевыми.
- Обратный корень \(\frac{1}{x}\) не равен противоположному корню \(-x\).