Решение квадратных уравнений
Квадратное уравнение решают приведением к стандартному виду, вычислением дискриминанта и нахождением корней. В этом конспекте разобраны приведённые и неприведённые уравнения, особые случаи, проверка ответа и типичные ошибки.
1. Вид квадратного уравнения и подготовка
Сначала вспомним определение квадратного уравнения. Его стандартный вид: \(ax^2+bx+c=0\), где \(a\), \(b\), \(c\) — известные числа, а \(a\ne0\). Число \(a\) называют первым коэффициентом, \(b\) — вторым коэффициентом, \(c\) — свободным членом.
Уравнение \(ax^2+bx+c=0\) называется приведённым, если первый коэффициент равен единице: \(x^2+px+q=0\). Если \(a\ne1\), уравнение называется неприведённым.
Перед решением раскройте скобки, перенесите все слагаемые в левую часть, приведите подобные слагаемые и расположите их по убыванию степеней. Если все коэффициенты имеют общий ненулевой множитель, уравнение можно разделить на него. Так неприведённое уравнение иногда превращается в приведённое.
Например, \(2x^2-8x+6=0\) можно разделить на \(2\): \(x^2-4x+3=0\). Но делить на выражение с переменной без отдельного рассмотрения нельзя: это может изменить множество корней.
2. Дискриминант и формула корней
Основной способ решения использует дискриминант квадратного уравнения. Для уравнения \(ax^2+bx+c=0\) дискриминант показывает, сколько действительных корней имеет уравнение.
Если \(D>0\), уравнение имеет два различных действительных корня. Если \(D=0\), уравнение имеет один действительный корень, который является корнем кратности два. Если \(D<0\), действительных корней нет.
Формулы корней применяют при \(D\ge0\). При \(D=0\) обе формулы дают одно и то же значение:
Для приведённого уравнения \(x^2+px+q=0\) коэффициенты равны \(a=1\), \(b=p\), \(c=q\), поэтому вычисления короче.
В формуле дискриминанта знак перед \(4ac\) всегда минус: \(D=b^2-4ac\). В знаменателе формулы корня стоит \(2a\), а не только \(2\).
3. Алгоритм решения и разобранный пример
- Привести уравнение к виду \(ax^2+bx+c=0\).
- Определить коэффициенты \(a\), \(b\), \(c\).
- Вычислить дискриминант \(D=b^2-4ac\).
- По знаку дискриминанта определить количество действительных корней.
- Если \(D\ge0\), найти корни по формуле.
- Записать ответ и при необходимости выполнить проверку подстановкой.
Решим уравнение \(3x^2-5x-2=0\). Здесь \(a=3\), \(b=-5\), \(c=-2\).
Ответ: \(x_1=2\), \(x_2=-\frac13\). Проверка: при \(x=2\) получаем \(3\cdot4-5\cdot2-2=0\); при \(x=-\frac13\) также получается ноль.
Сколько действительных корней имеет уравнение \(2x^2+4x+5=0\)?
4. Приведённые и неполные уравнения
В приведённом уравнении \(x^2+px+q=0\) можно применять общую формулу, но иногда удобнее использовать разложение на множители или теорему Виета. Для приведённого уравнения сумма корней равна \(-p\), а произведение — \(q\).
Например, \(x^2-7x+12=0\). Нужно найти два числа, сумма которых равна \(7\), а произведение — \(12\): это \(3\) и \(4\). Следовательно, \(x_1=3\), \(x_2=4\). Такой приём особенно удобен, если корни целые.
Неполное квадратное уравнение не содержит одного или двух членов. Его часто решают быстрее, чем полное.
| Вид | Способ решения | Пример |
|---|---|---|
| \(ax^2=0\) | \(x=0\) | \(5x^2=0\) |
| \(ax^2+bx=0\) | Вынести \(x\) за скобки: \(x(ax+b)=0\) | \(2x^2-6x=0\) |
| \(ax^2+c=0\) | Получить \(x^2=-\frac ca\) и извлечь корень | \(x^2-9=0\) |
В уравнении \(ax^2+bx=0\) действует правило произведения: произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю. Поэтому \(x=0\) или \(ax+b=0\).
5. Особые случаи, проверка и ошибки
Если после преобразований квадратный член исчез, уравнение перестаёт быть квадратным. Например, \(0x^2+3x-6=0\) превращается в линейное уравнение \(3x-6=0\), его корень \(x=2\). Если получено тождество \(0=0\), корнем является любое действительное число; если получено неверное равенство \(0=5\), корней нет.
1. Забывают, что \(b\) может быть отрицательным: в \(D=b^2-4ac\) нужно подставлять скобки, например \((-5)^2\). 2. Теряют знак при вычислении \(-b\). 3. Делят только часть уравнения на общий множитель. 4. Записывают один корень при \(D>0\). 5. При \(D<0\) пишут действительные корни с \(\sqrt{D}\) вместо вывода «действительных корней нет». 6. При вынесении \(x\) за скобки забывают корень \(x=0\).
Подставьте каждый найденный корень в исходное уравнение, а не только в преобразованное. Для приведённого уравнения можно дополнительно проверить сумму и произведение корней по теореме Виета.
Графически корни — это абсциссы точек пересечения параболы \(y=ax^2+bx+c\) с осью \(Ox\). При \(D>0\) пересечений два, при \(D=0\) парабола касается оси, при \(D<0\) пересечений нет.
6. Быстрая тренировка
Проверь знание алгоритма
Главное
- Приведите уравнение к виду \(ax^2+bx+c=0\), где \(a\ne0\).
- Вычислите \(D=b^2-4ac\): знак дискриминанта определяет число действительных корней.
- При \(D\ge0\) используйте \(x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\).
- Для приведённого уравнения \(x^2+px+q=0\) удобно применять формулы Виета или разложение на множители.
- В неполных уравнениях сначала ищите общий множитель и используйте свойства произведения, равного нулю.
- Проверяйте знаки, знаменатель \(2a\) и найденные корни подстановкой.