Система квадратных уравнений

Система квадратных уравнений — это несколько уравнений с двумя переменными, в которых переменные входят во второй степени или образуют произведения. Чтобы решить такую систему, нужно найти все пары \((x,y)\), одновременно удовлетворяющие каждому уравнению; основные приёмы — подстановка, сложение или вычитание уравнений, разложение на множители и замена переменных.

Что означает решить систему

Решением системы называется упорядоченная пара чисел \((x,y)\), которая превращает каждое уравнение системы в верное равенство. Ответом может быть одна пара, несколько пар, бесконечное множество пар или пустое множество.

Перед решением полезно повторить Шешім квадратных уравнений: дискриминант, формулы корней и разложение квадратного трёхчлена на множители. Система отличается от одного уравнения тем, что найденные значения нужно проверять сразу в обоих уравнениях.

Метод подстановки

Метод подстановки удобен, если из бір уравнения легко выразить \(x\), \(y\), \(x^2\) немесе \(y^2\). Полученное выражение подставляют во второе уравнение, после чего получают одно уравнение с одной переменной.

1. Выразить одну переменную или её квадрат из более простого уравнения.
2. Подставить выражение во второе уравнение.
3. Решить полученное уравнение, часто квадратное или биквадратное.
4. Іздеу вторую переменную для каждого найденного значения.
5. Тексеру полученные пары в исходной системе.

Если известно \(y^2\), то после подстановки может возникнуть условие \(y=\pm\sqrt{y^2}\). Знак нельзя выбирать произвольно: каждое найденное значение нужно согласовать с исходными уравнениями.

Сложение, вычитание и разложение на множители

Если в уравнениях присутствуют одинаковые квадратичные части, их удобно вычесть или сложить. Так можно получить линейное уравнение, например \(x-y=0\) немесе \(x+y=4\), а затем применить подстановку. Этот подход похож на методы, используемые в системах линейных уравнений, но после исключения квадратов всё равно требуется решить оставшуюся часть.

Иногда разность уравнений сразу раскладывается на множители. Например, из равенства \(x^2=y^2\) следует \(x^2-y^2=0\), то есть \((x-y)(x+y)=0\). Поэтому система распадается на два случая: \(x=y\) немесе \(x=-y\).

Для систем с произведениями вида \(xy\), суммами \(x+y\) и квадратами \(x^2+y^2\) часто полезна симметрическая система уравнений. В ней вводят новые переменные \(s=x+y\) и \(p=xy\), а затем восстанавливают \(x\) и \(y\) как корни квадратного уравнения.

Замена переменной и ограничения

Замена переменной сокращает запись, если система содержит повторяющееся выражение. Например, при наличии \(x^2+y^2\) и \(xy\) можно обозначить \(u=x^2+y^2\), \(v=xy\). Если встречается \(x^4\), удобно положить \(t=x^2\), но затем обязательно учесть ограничение \(t\ge 0\).

После шешімдер относительно \(t\) возвращаются к \(x\): значение \(t<0\) отбрасывается, поскольку квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Аналогично, при делении на \(x-y\) нужно отдельно рассмотреть случай \(x-y=0\).

Разобранный пример

Заметим, что система симметрична относительно замены \(x\) и \(y\), поэтому появление двух пар \((3,4)\) и \((4,3)\) закономерно. Графически шешімдер — точки пересечения окружности \(x^2+y^2=25\) и прямой \(x+y=7\).

Проверка и типичные ошибки

Проверка особенно важна, если при решении выполнялось возведение в квадрат, умножение на выражение с переменной, извлечение корня или замена переменной. Проверяют не отдельные координаты, а всю пару в каждом исходном уравнении.