Симметрическая система уравнений
Симметрическая система уравнений устроена так, что перестановка переменных \(x\) и \(y\) не меняет её вида. Такие системы удобно решать не подбором и не последовательной заменой, а через сумму \(x+y\) и произведение \(xy\).
Что такое симметрическая система
Система называется симметрической относительно переменных \(x\) и \(y\), если после замены \(x\) на \(y\), а \(y\) на \(x\) каждое уравнение сохраняет свой вид. Например, система \(\begin{cases}x+y=5,\\ xy=6\end{cases}\) симметрична: в обоих уравнениях переменные выступают равноправно.
Симметрическая система относительно \(x\) и \(y\) — система, решения которой вместе с парой \((x,y)\) содержит и переставленную пару \((y,x)\), если обе пары определены условиями системы.
Главная идея метода связана с теоремой Виета. Числа \(x\) и \(y\) можно рассматривать как корни квадратного уравнения, если известны их сумма и произведение.
После введения обозначений \(s\) и \(p\) многие выражения упрощаются:
Основной алгоритм решения
В большинстве задач система содержит симметричные выражения: \(x+y\), \(xy\), \(x^2+y^2\), \(x^3+y^3\) или комбинации этих выражений. Их сначала заменяют через \(s\) и \(p\), затем находят сами \(s\) и \(p\).
- Проверить, что система симметрична относительно \(x\) и \(y\).
- Ввести обозначения \(s=x+y\) и \(p=xy\).
- Переписать уравнения системы через \(s\) и \(p\).
- Решить полученную систему относительно \(s\) и \(p\).
- Для каждой найденной пары \((s,p)\) составить квадратное уравнение \(t^2-st+p=0\).
- Найти его корни. Это и есть значения \(x\) и \(y\) в любом порядке.
- Проверить ограничения исходной системы и записать все пары.
Если \(s=x+y\) и \(p=xy\), то числа \(x\) и \(y\) являются корнями квадратного уравнения \(t^2-st+p=0\). Поэтому после нахождения \(s\) и \(p\) нужно решить именно это уравнение.
Дискриминант этого уравнения равен
Для действительных \(x\) и \(y\) обязательно \(D\ge 0\). Если \(D<0\), найденная пара \((s,p)\) не даёт действительных решений исходной системы.
Какие значения нужно найти в первую очередь, если система симметрична относительно \(x\) и \(y\)?
Полезные преобразования
Чтобы заметить симметрию, нужно не раскрывать скобки без необходимости, а собирать выражения в пары. Например, \(x^2+y^2\) сразу заменяется формулой через сумму и произведение. Для четвёртых степеней сначала удобно найти \(x^2+y^2\), а затем возвести это выражение в квадрат:
Если в системе встречаются дроби, сначала проверяют ОДЗ и только потом выполняют преобразования. При этом полезными могут оказаться системы уравнений с дробями, но сама симметрическая замена остаётся прежней.
| Выражение | Через \(s\) и \(p\) |
|---|---|
| \(x+y\) | \(s\) |
| \(xy\) | \(p\) |
| \(x^2+y^2\) | \(s^2-2p\) |
| \(x^3+y^3\) | \(s^3-3ps\) |
| \((x-y)^2\) | \(s^2-4p\) |
| \(\frac1x+\frac1y\) | \(\frac{s}{p}\), если \(p\ne0\) |
Если в двух уравнениях встречаются только симметричные выражения, не пытайтесь выразить \(y\) через \(x\) сразу. Введите \(s\) и \(p\): это часто превращает сложную систему в линейную или квадратную систему для новых переменных.
Разобранный пример
Решим систему уровня экзамена:
Система симметрична: при перестановке \(x\) и \(y\) оба уравнения не изменяются. Используем сумму и произведение.
Показать ответ Ответ
Для \(s=2\), \(p=-\frac92\) получаем \(2t^2-4t-9=0\), поэтому \(t=1\pm\frac{\sqrt{22}}2\). Значит, две переставленные пары:
Для \(s=5\), \(p=6\): \(t^2-5t+6=0\), откуда \(t=2\) и \(t=3\). Ещё две пары: \((2,3)\) и \((3,2)\). Ответ:
Особые случаи и проверка
Если \(D=0\), то \(x=y=s/2\), и переставленная пара совпадает с исходной. Если \(p=0\), одна из переменных равна нулю; в формулах с \(\frac1x+\frac1y\) такой случай нужно рассматривать отдельно, потому что деление на \(p\) невозможно.
Иногда после перехода к \(s\) и \(p\) получается несколько вариантов. Каждый вариант нужно проверить условием \(D\ge0\), а затем подстановкой в исходную систему. Это особенно важно после возведения в квадрат, умножения на выражение, которое может быть равно нулю, или сокращения дробей.
1. Путают \(x^2+y^2\) и \((x+y)^2\): первое равно \(s^2-2p\), а второе — \(s^2\). 2. Составляют уравнение \(t^2+st+p=0\) вместо \(t^2-st+p=0\). 3. Забывают проверить \(D\ge0\). 4. Записывают только одну пару \((x,y)\) и теряют \((y,x)\). 5. Не учитывают ОДЗ исходных дробей или корней.
В системах с дополнительными условиями метод также работает, но найденные пары нужно фильтровать. Например, если требуется \(x>y\), из двух переставленных решений оставляют только подходящее. При наличии корней полезно заранее повторить системы квадратных уравнений и правила преобразования равносильных систем.
Как оформлять решение на экзамене
- Записать замену \(s=x+y\), \(p=xy\).
- Показать формулы перехода от исходных выражений к \(s\) и \(p\).
- Решить систему для \(s\) и \(p\), не пропуская промежуточные преобразования.
- Для каждой пары составить \(t^2-st+p=0\).
- Проверить дискриминант и ограничения.
- Записать все пары \((x,y)\), включая переставленные, если они различны.
Быстрая проверка
Главное
- Симметрическую систему решают через \(s=x+y\) и \(p=xy\).
- Основные замены: \(x^2+y^2=s^2-2p\), \(x^3+y^3=s^3-3ps\), \((x-y)^2=s^2-4p\).
- После нахождения \(s\) и \(p\) решают восстановительное уравнение \(t^2-st+p=0\).
- Проверяют дискриминант, ОДЗ и исходную систему; не забывают переставленные пары.
- Метод опирается на теорему Виета и является важным приёмом для систем квадратных уравнений.