Система уравнений с параметром и модулем
Системы уравнений с параметром и модулем решают не подбором отдельных значений параметра, а исследованием всех возможных случаев. Основные идеи: выразить переменную, раскрыть модуль по знаку его подмодульного выражения, найти ограничения и отдельно подсчитать число решений.
Основные понятия и общий план
Параметр \(a\) — фиксированное число, которое в ходе решения считается постоянным, но его значение заранее неизвестно. Переменные системы обычно обозначают \(x\) и \(y\). Для каждого допустимого значения \(a\) требуется найти все пары \((x,y)\) или определить их количество.
Решить систему с параметром — значит для каждого значения параметра указать множество решений системы либо число решений. Если задача спрашивает, при каких \(a\) система имеет ровно \(k\) решений, нужно исследовать не только полученные корни, но и ограничения, совпадения и посторонние решения.
1) Найдите ОДЗ и ограничения. 2) Упростите систему или выразите одну переменную через другую. 3) Разбейте решение на случаи по знаку выражения под модулем. 4) В каждом случае решите полученное уравнение. 5) Проверьте условия случая и исходную систему. 6) Сравните решения на границах и подсчитайте их число.
- Если модуль содержит \(f(x,y)\), выпишите границу \(f(x,y)=0\).
- На области \(f(x,y)\ge 0\) замените \(|f(x,y)|\) на \(f(x,y)\).
- На области \(f(x,y)<0\) замените \(|f(x,y)|\) на \(-f(x,y)\).
- Не объединяйте результаты разных случаев без проверки: одна и та же пара может оказаться на границе.
Как работать с модулем в системе
Правило раскрытия модуля основано на знаке подмодульного выражения. Если удаётся выразить \(y\) через \(x\), модуль часто превращается в условие на \(x\). Например, при \(y=2x-a\) выражение \(y-a\) равно \(2x-2a\), поэтому граница модуля определяется уравнением \(x=a\).
В системах встречаются два удобных подхода. Первый — раскрыть модуль по случаям сразу. Второй — ввести новую переменную \(t=|f(x,y)|\), учесть \(t\ge0\), а затем восстановить \(x\) и \(y\). Первый способ надёжнее, если выражение \(f\) линейное; второй полезен при симметрии или одинаковых выражениях в двух уравнениях.
Точку, где подмодульное выражение равно нулю, включают в случай с нестрогим неравенством. Например, удобно рассматривать \(f\ge0\) и \(f<0\). Тогда граница не учитывается дважды.
Исследование числа решений
После исключения одной переменной система часто сводится к уравнению вида \(F(x,a)=0\) с дополнительным условием. Число решений зависит от расположения графиков или от числа корней квадратного уравнения. Здесь полезны знак квадратного трёхчлена и график квадратичной функции и неравенства.
Для \(Ax^2+Bx+C=0\), где \(A\ne0\): при \(D<0\) действительных корней нет; при \(D=0\) один корень; при \(D>0\) два различных корня. Но в задаче с модулем каждый корень нужно проверить в своём диапазоне.
Если после раскрытия модуля появляются два квадратных уравнения, число решений складывается только после проверки. Корень из первого случая не должен нарушать его условие, а совпадающий корень на границе считается один раз. Если система задана дробями, дополнительно исключают значения, обращающие знаменатель в ноль; при необходимости используйте материал о системах уравнений с дробями.
Какое разбиение корректно для модуля \(|2x-a|\)?
Разобранный пример
Исследуем число решений системы \(\begin{cases}y=2x-a,\\ |y-a|=x^2-1.\end{cases}\) в зависимости от \(a\).
В последней строке показан главный приём исследования: сначала находят критические значения параметра, где меняется число корней или допустимость случая. Затем достаточно проверить по одному значению параметра внутри каждого промежутка и отдельно разобрать сами границы. Если требуется только конкретное число решений, не обязательно выписывать все пары полностью, но условия каждого корня должны быть проверены.
Графический смысл и симметрия
Систему можно понимать как пересечение графиков. Первое уравнение задаёт прямую, а второе после подстановки — кривую с модулем. Параметр сдвигает прямую или меняет положение границы модуля, поэтому число точек пересечения изменяется только в особых положениях: при касании, прохождении через вершину или исчезновении действительных корней.
Если в системе переменные входят одинаково, полезно попробовать замену \(u=x+y\), \(v=x-y\) или применить метод замены. При симметрии относительно перестановки \(x\) и \(y\) решения часто идут парами \((x,y)\) и \((y,x)\); исключение — решения на прямой \(x=y\). Смежную технику разбора можно повторить на странице о системах уравнений с модулями.
1) Раскрывают \(|f|\) без записи условия на знак \(f\). 2) Делят на выражение с параметром, не рассмотрев случай его равенства нулю. 3) Считают корни квадратного уравнения, не проверяя ОДЗ. 4) Учитывают граничный корень дважды. 5) Проверяют несколько значений параметра, но не находят точки, где меняется число решений. 6) При переходе от системы к одному уравнению забывают восстановить вторую переменную.
Модуль раскрывают только вместе с условием на знак. Число решений меняется лишь на критических значениях параметра: при нулевом дискриминанте, касании, попадании в границу ОДЗ или совпадении с границей случая.
Алгоритм оформления решения
- Записать ОДЗ и запретные значения параметра или переменных.
- Выразить переменную либо ввести вспомогательную замену.
- Разбить модуль на непересекающиеся случаи.
- Решить уравнения в каждом случае.
- Проверить все условия и убрать посторонние корни.
- Найти критические значения параметра и составить таблицу числа решений.
- Отдельно проверить граничные значения параметра.
Проверь себя
Главное
- Параметр рассматривают как фиксированное число, а исследование проводят по его значениям.
- Модуль раскрывают по знаку подмодульного выражения, не забывая границу.
- После сведения системы к одному уравнению каждый корень проверяют по ОДЗ и условиям случая.
- Критические значения параметра находят по дискриминанту, границам ОДЗ, касаниям и совпадениям.
- Граничные значения параметра и корни на границе модуля проверяют отдельно; одинаковые решения считают один раз.