График квадратичной функции и неравенства
График квадратичной функции помогает быстро решить квадратное неравенство: достаточно определить, где парабола расположена выше или ниже оси абсцисс. Важно учитывать направление ветвей, координаты точек пересечения с осью \(Ox\) и строгий или нестрогий знак неравенства.
Квадратичная функция и её график
Квадратичной называется функция, заданная формулой \(y=ax^2+bx+c\), где \(a\), \(b\) и \(c\) — числа, причём \(a\ne0\). Её график — парабола. Коэффициент \(a\) определяет направление ветвей: если \(a>0\), ветви направлены вверх; если \(a<0\), ветви направлены вниз.
Квадратным называется неравенство вида \(ax^2+bx+c>0\), \(ax^2+bx+c<0\), \(ax^2+bx+c\ge0\) или \(ax^2+bx+c\le0\), где \(a\ne0\). Его можно рассматривать как сравнение значения функции \(y=ax^2+bx+c\) с нулём.
Решить неравенство \(ax^2+bx+c>0\) — значит найти такие значения \(x\), при которых график функции находится выше оси абсцисс. Для знака \(<0\) нужны участки, где парабола находится ниже оси абсцисс.
Корни и расположение параболы относительно оси Ox
Чтобы узнать, пересекает ли парабола ось абсцисс, находят корни уравнения \(ax^2+bx+c=0\). Для этого вычисляют дискриминант.
Если \(D>0\), уравнение имеет два различных корня \(x_1\) и \(x_2\). Если \(D=0\), парабола касается оси \(Ox\) в одной точке. Если \(D<0\), пересечений с осью \(Ox\) нет.
Пусть \(x_1<x_2\) — корни квадратного трёхчлена \(ax^2+bx+c\). При \(a>0\) выражение положительно вне отрезка \([x_1,x_2]\) и отрицательно внутри него. При \(a<0\) знаки меняются наоборот: выражение отрицательно вне отрезка и положительно внутри.
| Условие | При \(a>0\) | При \(a<0\) |
|---|---|---|
| \(ax^2+bx+c>0\) | \(x<x_1\) или \(x>x_2\) | \(x_1<x<x_2\) |
| \(ax^2+bx+c<0\) | \(x_1<x<x_2\) | \(x<x_1\) или \(x>x_2\) |
| \(ax^2+bx+c\ge0\) | \(x\le x_1\) или \(x\ge x_2\) | \(x_1\le x\le x_2\) |
| \(ax^2+bx+c\le0\) | \(x_1\le x\le x_2\) | \(x\le x_1\) или \(x\ge x_2\) |
Такое правило связано с графиком: знак функции совпадает со знаком ординаты точки параболы. Точки пересечения с осью \(Ox\) при строгих неравенствах не входят в ответ, а при знаках \(\ge\) и \(\le\) входят.
Парабола имеет ветви вверх и пересекает ось \(Ox\) в точках \(x=-3\) и \(x=1\). Где функция отрицательна?
Особые случаи: один корень или отсутствие корней
Если \(D=0\), квадратный трёхчлен имеет вид \(a(x-x_0)^2\). Квадрат неотрицателен, поэтому при \(a>0\) выражение положительно для всех \(x\ne x_0\) и равно нулю при \(x=x_0\). При \(a<0\) выражение отрицательно для всех \(x\ne x_0\).
Например, неравенство \((x-2)^2\ge0\) верно при всех действительных \(x\). Неравенство \((x-2)^2<0\) решений не имеет, потому что квадрат не может быть отрицательным.
Если \(D<0\), парабола не пересекает ось \(Ox\), поэтому функция сохраняет один знак на всей числовой прямой. Этот знак совпадает со знаком коэффициента \(a\): при \(a>0\) функция всегда положительна, при \(a<0\) — всегда отрицательна.
Если \(D<0\), корней нет. При \(a>0\): \(ax^2+bx+c>0\) для всех \(x\), а неравенство \(ax^2+bx+c<0\) решений не имеет. При \(a<0\) — наоборот.
Алгоритм решения по параболе
Графический способ особенно удобен, когда нужно быстро определить промежутки знакопостоянства. Он совпадает с методом квадратных неравенств, но решение объясняется расположением графика.
- Перенесите все слагаемые в левую часть, чтобы получить выражение \(ax^2+bx+c\) и ноль справа.
- Определите знак коэффициента \(a\), то есть направление ветвей параболы.
- Найдите дискриминант \(D\) и выясните число пересечений с осью \(Ox\).
- Если \(D>0\), найдите корни и расположите их на числовой прямой в порядке \(x_1<x_2\).
- Выберите промежутки, где парабола выше оси для знака \(>\) или \(\ge\), и ниже оси для знака \(<\) или \(\le\).
- Проверьте, входят ли корни в ответ: при нестрогом неравенстве входят, при строгом — нет.
При двух корнях достаточно запомнить: ветви вверх — знак «плюс» снаружи, «минус» внутри; ветви вниз — «минус» снаружи, «плюс» внутри. Это правило также называют правилом знаков квадратного трёхчлена; подробнее оно разобрано на странице знака квадратного трёхчлена.
Разобранный пример
Решим неравенство \(-2x^2+5x+3\ge0\) графическим методом.
Нужно определить, где парабола \(y=-2x^2+5x+3\) расположена на или выше оси \(Ox\).
Ответ: \(\left[-\frac12;3\right]\). На этом отрезке парабола находится выше оси \(Ox\) или пересекает её в концах.
Как записывать ответ
Для строгого неравенства используют круглые скобки: \(x_1<x<x_2\) записывают как \((x_1;x_2)\). Для нестрогого неравенства корни включают в ответ: \(x_1\le x\le x_2\) записывают как \([x_1;x_2]\). Если ответ состоит из двух лучей, используют объединение промежутков, например \((-\infty;x_1)\cup(x_2;+\infty)\).
1. Забывают поменять направление знаков при \(a<0\). 2. При \(D<0\) пытаются искать корни по формуле. 3. При знаках \(\ge\) и \(\le\) исключают корни. 4. Путают промежуток между корнями с промежутками вне корней. 5. Неправильно упорядочивают корни, особенно если перед дробью стоит минус. 6. Не приводят неравенство к виду, где справа стоит ноль.
Если коэффициент при \(x^2\) неудобен, можно умножить обе части неравенства на \(-1\), но тогда знак неравенства обязательно меняется. Например, \(-x^2+4>0\) равносильно \(x^2-4<0\).
Проверь себя
Главное
- Квадратичное неравенство решают по расположению параболы \(y=ax^2+bx+c\) относительно оси \(Ox\).
- При \(a>0\) ветви направлены вверх: положительный знак находится снаружи корней, отрицательный — между ними.
- При \(a<0\) знаки меняются наоборот.
- Дискриминант определяет число пересечений с осью: \(D>0\) — два, \(D=0\) — одно, \(D<0\) — ни одного.
- Корни включают в ответ только при нестрогих знаках \(\ge\) и \(\le\).
- Проверяйте направление ветвей, знак неравенства и скобки в записи промежутков.