Задание № 7 · ОГЭ

Линейное неравенство с дробью

Как решать линейные неравенства с дробными коэффициентами

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Линейное неравенство с дробью — это линейное неравенство, в записи которого есть дробные коэффициенты или дробь с переменной в числителе. Его решают почти так же, как обычное линейное неравенство, но при умножении на отрицательное число знак обязательно меняют на противоположный.

Неравенство вида \(\frac{a}{b}x+c<0\), \(\frac{a}{b}x+c\geqslant 0\) или приводимое к такому виду, где \(a\), \(b\), \(c\) — числа, а \(b\neq 0\). Знаменатель здесь постоянный, поэтому область допустимых значений обычно совпадает со всеми действительными числами.

Основное правило

Сначала удобно избавиться от дробных коэффициентов: умножить обе части неравенства на общий положительный знаменатель. Если общий множитель отрицательный, знак неравенства меняется. Далее перенесите слагаемые с переменной в одну часть, числа — в другую, и разделите на коэффициент при \(x\), учитывая его знак.

\[\text{если } a>0,\quad ax<b\Longleftrightarrow x<\frac{b}{a};\qquad\text{если } a<0,\quad ax<b\Longleftrightarrow x>\frac{b}{a}.\]

№

Пример

Решим \(\frac{2}{3}x-1<5\). Умножим обе части на \(3>0\): \(2x-3<15\). Тогда \(2x<18\), поэтому \(x<9\). Ответ: \((-\infty;9)\).

Не перепутайте знак

При умножении или делении на отрицательное число знак меняется: \(-2x<6\) равносильно \(x>-3\), а не \(x<-3\). Строгое неравенство \(<\) или \(>\) не включает граничную точку; знаки \(\leqslant\) и \(\geqslant\) включают её.

После решения полезно выполнить проверку подстановкой числа из полученного промежутка. Правильность преобразований опирается на понятие равносильных неравенств. Неравенство с переменным знаменателем решается иначе: сначала исследуют, где знаменатель равен нулю.

Проверьте себя

Какой знак получится после деления неравенства \(-\frac{3}{4}x>6\) на \(-\frac{3}{4}\)?

Главное за минуту

Главное

Дробные коэффициенты можно устранить умножением на общий положительный знаменатель.
При умножении или делении на отрицательное число знак неравенства меняется.
Строгое неравенство не включает граничное значение.