Задания № 1, 7 · ЕГЭ

Линейное неравенство

Как решать неравенства вида \(ax+b>0\) и когда менять знак

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Линейное неравенство — это неравенство, в котором переменная содержится только в первой степени. Чтобы решить его, нужно выразить переменную через равносильные преобразования и помнить: при умножении или делении обеих частей на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

Неравенство вида \(ax+b>0\), \(ax+b<0\), \(ax+b\ge 0\) или \(ax+b\le 0\), где \(x\) — переменная, а \(a\) и \(b\) — числа, причём \(a\ne 0\). Решением является множество всех значений \(x\), при которых неравенство становится верным. Строгое неравенство использует знаки \(>\) или \(<\), а нестрогое — \(\ge\) или \(\le\).

Основное правило решения

Сначала переносят слагаемые с переменной в одну часть, а известные числа — в другую. При переносе через знак неравенства знак слагаемого меняется. Затем делят обе части на коэффициент при \(x\). Если коэффициент положительный, знак сохраняется; если отрицательный — меняется.

\[ax+b>c\quad\Longrightarrow\quad x>\frac{c-b}{a}\ (a>0),\qquad x<\frac{c-b}{a}\ (a<0).\]

№

Пример

Решим неравенство \(-3x+6\ge 0\). Перенесём 6: \(-3x\ge -6\). Делим на \(-3\), поэтому знак меняется: \(x\le 2\). Ответ: \((-\infty;2]\) — это запись на числовом промежутке.

Не перепутайте

При сложении или вычитании одного и того же числа знак неравенства не меняется. Он меняется только при умножении или делении на отрицательное число. Например, из \(-2x<-8\) получается \(x>4\), а не \(x<4\). Преобразования выполняйте так, чтобы сохранялась равносильность: подробнее см. равносильные неравенства.

Если в неравенстве есть переменная в знаменателе или дробные выражения, это уже специальный случай — линейное неравенство с дробью. Несколько линейных неравенств одновременно образуют систему линейных неравенств.

Проверьте себя

Каков знак ответа после деления неравенства \(-5x\ge 15\) на \(-5\)?

Главное за минуту

Главное

Линейное неравенство содержит переменную только в первой степени.
При делении или умножении на отрицательное число знак неравенства меняется.
Строгое неравенство использует знаки \(>\) и \(<\); граница в ответ не входит.