Равносильные неравенства
Равносильные неравенства — это неравенства, имеющие одно и то же множество решений. Их можно преобразовывать так, чтобы запись становилась проще, но допустимые значения переменной не изменялись.
Основные правила
Равносильность сохраняется при следующих преобразованиях:
- к обеим частям неравенства можно прибавить или от обеих частей отнять одно и то же выражение; знак неравенства не меняется;
- обе части можно умножить или разделить на одно и то же положительное число или выражение, если оно положительно в рассматриваемой области; знак не меняется;
- обе части можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число или выражение, если оно отрицательно; знак неравенства меняется на противоположный.
При работе с выражениями важно учитывать область допустимых значений: нельзя делить на ноль, а знак выражения, на которое выполняется умножение или деление, должен быть известен. Подробные приёмы рассматриваются на странице равносильных преобразований неравенств.
Решим неравенство \(-2x+3\ge 7\). Вычтем \(3\) из обеих частей: \(-2x\ge 4\). Разделим обе части на \(-2\) и изменим знак: \(x\le -2\). Значит, исходное неравенство и неравенство \(x\le -2\) равносильны.
При умножении или делении на выражение с неизвестным нельзя автоматически сохранять знак. Например, при делении на \(x\) нужно отдельно рассмотреть случаи \(x>0\) и \(x<0\); значение \(x=0\) недопустимо.
Как изменится знак в неравенстве \(5x>10\), если разделить обе части на \(-5\)?
Главное
- Равносильные неравенства имеют одинаковые множества решений.
- При прибавлении одного и того же выражения знак сохраняется; при умножении или делении на отрицательное число знак меняется.
- При действиях с выражением, содержащим переменную, необходимо учитывать его знак и область допустимых значений.