Задания № 9, 10, 14 · ЕГЭ

Логарифмические неравенства

Как решать неравенства с логарифмами

3 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Логарифмическое неравенство — это неравенство, в котором неизвестная входит в аргумент или основание логарифма. Его решают с обязательной проверкой ОДЗ и с учётом того, возрастает или убывает логарифмическая функция.

Логарифмическое неравенство

Неравенство, содержащее выражения вида \(\log_a f(x)\), где \(a>0\), \(a\ne1\), а аргумент логарифма должен быть положительным: \(f(x)>0\). Решение состоит из нахождения ОДЗ, преобразования неравенства и отбора только допустимых значений.

Основное правило

Сначала находят область определения логарифмического неравенства: каждый аргумент логарифма делают положительным, а основание проверяют условиями \(a>0\) и \(a\ne1\). Затем используют свойства логарифмов и монотонность логарифма.

\[\log_a f(x)>\log_a g(x)\Longleftrightarrow\begin{cases}f(x)>g(x),&a>1,\\ f(x)<g(x),&0<a<1,\end{cases} \quad f(x)>0,\ g(x)>0.\]

Если основание \(a>1\), знак неравенства сохраняется: логарифмическая функция возрастает. Если \(0<a<1\), знак меняется на противоположный: функция убывает. После преобразований полезно проверять равносильность каждого шага, то есть сохраняется ли множество решений.

№

Пример

Решим \(\log_2(x-1)>3\). ОДЗ: \(x-1>0\), значит, \(x>1\). Так как \(2>1\), логарифм возрастает: \(x-1>2^3=8\). Получаем \(x>9\). Ответ: \((9;+\infty)\).

Не перепутайте

При основании \(0<a<1\) знак меняется. Например, из \(\log_{1/2}x>2\) следует не \(x>4\), а \(x<(1/2)^2=1/4\), причём ОДЗ требует \(x>0\). Нельзя также забывать ОДЗ после возведения обеих частей в степень.

Проверьте себя

Какое условие нужно добавить к неравенству \(\log_3(x^2-4)\le 1\) до преобразований?

Главное за минуту

Главное

Сначала выпишите ОДЗ: аргументы логарифмов положительны, основания положительны и не равны единице.
При основании больше единицы знак сохраняется, при основании от нуля до единицы — меняется.
После решения пересеките найденный ответ с ОДЗ.