Задание № 7 · ЕГЭ

Монотонность логарифма в неравенствах

Как основание логарифма влияет на знак неравенства

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Монотонность логарифма показывает, сохраняется или меняется знак неравенства при сравнении логарифмов. При основании больше 1 знак сохраняется, а при основании от 0 до 1 меняется на противоположный.

Монотонность логарифма

Монотонность логарифма — это свойство функции \(y=\log_a x\), определяющее её поведение при изменении аргумента. Если \(a>1\), логарифм возрастает: большему положительному аргументу соответствует большее значение логарифма. Если \(0<a<1\), логарифм убывает: большему аргументу соответствует меньшее значение логарифма. Всегда требуется \(a>0\), \(a\ne1\) и положительность аргументов.

Правило сравнения

\[\begin{aligned}\na>1:&\quad \log_a f(x)>\log_a g(x)\ \Longleftrightarrow\ f(x)>g(x),\\ 0<a<1:&\quad \log_a f(x)>\log_a g(x)\ \Longleftrightarrow\ f(x)<g(x). \end{aligned}\]

Перед применением правила находят область определения логарифмического неравенства: \(f(x)>0\) и \(g(x)>0\). При решении логарифмических неравенств это правило позволяет перейти от логарифмов к сравнению их аргументов.

№

Пример

Решим неравенство \(\log_{\frac13}(2x-1)>\log_{\frac13}5\). Основание \(\frac13\) лежит между 0 и 1, поэтому знак меняется: \(2x-1<5\). Одновременно учитываем область определения: \(2x-1>0\). Получаем \(\frac12<x<3\).

Не перепутайте

Знак меняется не из-за самого логарифма, а из-за убывания функции при \(0<a<1\). Если основания разные, сначала нельзя просто сравнивать аргументы: может потребоваться замена переменной или другое преобразование.

Проверьте себя

Какой знак получится после сравнения в неравенстве \(\log_{0,2}f(x)\le\log_{0,2}g(x)\)?

Главное за минуту

Главное

При \(a>1\) логарифм возрастает, поэтому знак неравенства сохраняется.
При \(0<a<1\) логарифм убывает, поэтому знак меняется.
Всегда проверяйте область определения: аргументы логарифмов должны быть положительными.