Тапсырма № 7 · ЕГЭ

Область определения логарифмического неравенства

Какие значения переменных допустимы в логарифмическом неравенстве

2 мин чтенияҚиындық: Обновлено 27 қыркүйек 2026

Область определения логарифмического неравенства — это все значения переменной, при которых каждый записанный логарифм существует. Её находят до шешімдер неравенства, а затем пересекают с полученным множеством шешімдер.

Множество значений переменной, удовлетворяющих условиям существования всех логарифмов, входящих в неравенство. Для логарифма \(\log_a f(x)\) необходимо, чтобы основание было положительным и не равнялось единице: \(a>0\), \(a\ne1\), а аргумент был положительным: \(f(x)>0\).

Условия существования логарифма

\[\log_{a} f(x)\text{ существует, если }a>0,\quad a\ne1,\quad f(x)>0.\]

Если основание — постоянное число, проверяют его один раз. Если основание или аргумент зависят от переменной, соответствующие условия становятся частью системы ограничений. Например, для \(\log_{x-1}(x+2)\) нужно записать \(x-1>0\), \(x-1\ne1\) и \(x+2>0\).

№

Пример

Найдём область определения неравенства \(\log_2(x-3)\ge 1\). Основание \(2\) допустимо, поэтому остаётся условие на аргумент: \(x-3>0\), то есть \(x>3\). Значит, неравенство рассматривают только на промежутке \((3;+\infty)\). Это ограничение записывают до применения свойств логарифма.

Не путайте с решением неравенства

Условия \(f(x)>0\) задают только область определения, но не гарантируют выполнение самого неравенства. Например, из \(x-3>0\) следует лишь допустимость логарифма, а не истинность утверждения \(\log_2(x-3)\ge1\). После нахождения области определения нужно решить исходное неравенство и пересечь ответы.

В общем алгоритме шешімдер логарифмических неравенств сначала составляют область определения, затем учитывают монотонность логарифма и проверяют пересечение ограничений с ответом.

Проверьте себя

Какое условие нужно добавить при решении неравенства \(\log_3(2x-1)<0\)?

Главное за минуту

Главное

Для \(\log_a f(x)\) обязательно: \(a>0\), \(a\ne1\), \(f(x)>0\).
Область определения находят до шешімдер и пересекают с итоговым ответом.
Положительный аргумент означает существование логарифма, но сам по себе не означает истинность неравенства.