Система линейных неравенств
Система линейных неравенств — это несколько неравенств с одной переменной, которые должны выполняться одновременно. Чтобы решить такую систему, решают каждое неравенство отдельно, изображают полученные промежутки на одной числовой прямой и находят их общую часть — пересечение.
Что такое система линейных неравенств
Линейным называют неравенство, которое после упрощения можно записать в виде \(ax+b>0\), \(ax+b\ge 0\), \(ax+b<0\) или \(ax+b\le 0\), где \(a\) и \(b\) — числа, а \(x\) — переменная. В системе каждое неравенство задаёт своё множество решений.
Решение системы неравенств — это такое значение переменной, которое является решением каждого неравенства системы. Множество решений системы равно пересечению множеств решений отдельных неравенств.
Систему записывают фигурной скобкой. Например, нужно одновременно выполнить условия \(x>2\) и \(x\le 7\). Тогда подходят только числа, принадлежащие и промежутку \((2;+\infty)\), и промежутку \((-\infty;7]\).
Для записи ответа используют числовые промежутки. Круглая скобка означает, что конец не входит в ответ, а квадратная — что входит. При строгом неравенстве \(<\) или \(>\) граница не включается; при нестрогом \(\le\) или \(\ge\) включается.
Алгоритм решения методом пересечения промежутков
Перед началом полезно повторить правила линейных неравенств. Особенно важно помнить: при умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное число знак меняется на противоположный.
- Упростите каждое неравенство системы и выразите переменную \(x\).
- Запишите решение каждого неравенства в виде промежутка.
- Изобразите все промежутки на одной числовой прямой. Открытая точка соответствует круглой скобке, закрашенная — квадратной.
- Выберите общую часть всех промежутков. Это и есть решение системы.
- Запишите ответ в виде промежутка или объединения промежутков и при необходимости проверьте подходящее число.
Для системы \(x\in A\) и \(x\in B\) решение записывают как \(x\in A\cap B\). При пересечении двух промежутков берут только те числа, которые принадлежат обоим промежуткам. Если общей части нет, система не имеет решений: \(\varnothing\).
Если левая граница общей части достигается хотя бы в одном из исходных промежутков, она может быть включена только тогда, когда включена в каждом промежутке, где она является границей. То же правило действует для правой границы.
Разобранный пример
Решим систему и запишем ответ в виде промежутка:
Первое условие требует \(x\ge4\), второе — \(x>-3\). Любое число из \([4;+\infty)\) автоматически больше \(-3\), поэтому более строгое ограничение задаёт первое неравенство. Ответ: \(x\in[4;+\infty)\).
В экзаменационных заданиях границы часто задаются дробями. Например, из \(5x-2\le 3\) получаем \(x\le1\), а из \(-2x+6<0\) — \(x>3\). Пересечение \((-\infty;1]\cap(3;+\infty)\) пусто, поэтому решений нет.
Каково решение системы \(\begin{cases}x\ge-2,\\x<5\end{cases}\)?
Особые случаи и частые ошибки
Иногда одно неравенство системы уже включает решения другого. Например, \(x>1\) и \(x>4\) дают пересечение \((4;+\infty)\): достаточно более строгого условия. Если же условия противоречат друг другу, например \(x\le2\) и \(x>6\), общих решений нет.
1. Забывают поменять знак при делении на отрицательное число. Из \(-3x\le9\) следует \(x\ge-3\), а не \(x\le-3\).<br>2. Путают пересечение и объединение. В системе нужны значения, подходящие одновременно всем условиям.<br>3. Неверно включают границу. Знак \(>\) даёт круглую скобку, а знак \(\ge\) — квадратную.<br>4. Смешивают порядок концов. Промежуток записывают слева направо: меньшая граница, затем большая.<br>5. Не проверяют пустое пересечение. Если левая граница больше правой, ответ — \(\varnothing\).
Возьмите число из предполагаемого ответа и подставьте его в каждое исходное неравенство. Если хотя бы одно условие не выполняется, пересечение найдено неверно.
Система и двойное неравенство
Систему вида \(a<x\le b\) можно записать короче как двойное неравенство \(a<x\le b\). Это означает одновременное выполнение двух условий: \(x>a\) и \(x\le b\). Поэтому при решении двойного неравенства действуют те же правила пересечения промежутков.
Например, \(-3\le2x+1<7\). Вычтем \(1\): \(-4\le2x<6\). Разделим все три части на \(2\): \(-2\le x<3\). Ответ — \([-2;3)\). Для преобразований важно сохранять равносильность; подробнее это связано с понятием равносильных неравенств.
Как оформлять ответ на экзамене
В заданиях формата ege-1, ege-7 и oge-9 обычно требуется выбрать промежуток, записать множество решений или определить число, удовлетворяющее системе. Сначала решайте неравенства алгебраически, затем внимательно учитывайте скобки. Если система содержит несколько условий, пересекайте все промежутки, а не только первые два.
| Условие | Точка на прямой | Запись границы |
|---|---|---|
| \(x>a\) или \(x<a\) | точка не закрашена | круглая скобка |
| \(x\ge a\) или \(x\le a\) | точка закрашена | квадратная скобка |
| Нет общих значений | общая часть отсутствует | \(\varnothing\) |
Быстрая проверка
Главное
- Систему линейных неравенств решают по отдельности, а затем находят пересечение полученных промежутков.
- При делении или умножении на отрицательное число знак неравенства меняется.
- Круглая скобка соответствует строгому знаку, квадратная — нестрогому.
- Для системы нужна общая часть всех решений; при её отсутствии ответ — \(\varnothing\).
- Двойное неравенство можно рассматривать как короткую запись системы из двух неравенств.