Задания № 1, 7 · ЕГЭ

Двойное неравенство

Как записывать и решать неравенства с двумя границами

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Двойное неравенство — это запись двух неравенств, объединённых одним условием: переменная должна одновременно быть больше одной границы и меньше другой. Его удобно рассматривать как систему неравенств.

Двойное неравенство

Двойным называют неравенство вида \(a < x < b\), \(a \le x \le b\), \(a < x \le b\) или \(a \le x < b\). Оно означает, что переменная \(x\) находится между числами \(a\) и \(b\) с учётом знаков на концах.

Запись и решение

Двойное неравенство равносильно системе двух условий: \(a < x < b\) означает одновременно \(x > a\) и \(x < b\). Поэтому решение можно отмечать на числовой прямой как числовой промежуток. Круглая скобка соответствует строгому знаку \(<\) или \(>\), квадратная — нестрогому знаку \(\le\) или \(\ge\).

\[a < x < b \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases}x>a\\x<b\end{cases}\]

Чтобы решить двойное неравенство, выполняют одинаковые преобразования сразу во всех трёх его частях. При прибавлении или вычитании одного и того же числа знаки не меняются. При умножении или делении на отрицательное число оба знака меняют направление.

№

Пример

Решим неравенство \(-2 \le 3x+1 < 10\). Вычтем \(1\) из всех частей: \(-3 \le 3x < 9\). Разделим все части на \(3\): \(-1 \le x < 3\). Ответ: \(x \in [-1;3)\).

Не перепутайте

Двойное неравенство требует выполнения обоих условий, то есть используется пересечение решений. Это не объединение вида «\(x<a\) или \(x>b\)». Кроме того, при делении на отрицательное число знаки нужно поменять одновременно.

Проверьте себя

Какое решение имеет неравенство \(1<2x-3\le5\)?

Главное за минуту

Главное

Двойное неравенство задаёт положение переменной между двумя границами.
Его можно заменить системой двух неравенств, соединённых условием «и».
При преобразованиях учитывайте изменение знаков при умножении или делении на отрицательное число.