Неравенства с модулями
Неравенства с модулями удобно решать по смыслу модуля: \(|f(x)|\) показывает расстояние от числа \(f(x)\) до нуля. Важно различать строгое неравенство (\(<\) или \(>\)) и нестрогое (\(\le\) или \(\ge\)): границы решения при строгом знаке не входят в ответ.
1. Смысл модуля и основные правила
Модуль числа \(t\) определяется так: \(|t|=t\), если \(t\ge 0\), и \(|t|=-t\), если \(t<0\). Поэтому \(|t|\ge 0\) для любого действительного \(t\). Перед решением полезно вспомнить раскрытие модуля и правила двойного неравенства.
Модуль \(|t|\) — это расстояние от точки \(t\) до нуля на координатной прямой. Например, \(|{-3}|=3\) и \(|3|=3\).
Если правая часть равна \(a\), сначала сравните \(a\) с нулём. При \(a<0\) неравенства \(|f(x)|<a\) и \(|f(x)|\le a\) решений не имеют, потому что модуль не бывает отрицательным. Неравенство \(|f(x)|>a\) при \(a<0\) верно для всех допустимых \(x\).
В формулах для знаков \(<\) и \(\le\) появляется пересечение двух условий: значение \(f(x)\) должно одновременно находиться между \(-a\) и \(a\). В формулах для \(>\) и \(\ge\) появляется объединение: значение должно лежать левее \(-a\) или правее \(a\).
2. Неравенства \(|f(x)|<a\) и \(|f(x)|\le a\)
Если \(a>0\), выражение \(|f(x)|<a\) означает: расстояние от \(f(x)\) до нуля меньше \(a\). Значит, \(f(x)\) находится строго внутри отрезка \((-a;a)\). Для знака \(\le\) границы входят, поэтому получается отрезок \([-a;a]\). Подробное правило можно рассматривать как частный случай темы модуль меньше числа.
1. Убедитесь, что \(a>0\). 2. Замените модуль двойным неравенством \(-a<f(x)<a\) или \(-a\le f(x)\le a\). 3. Решите полученную систему неравенств. 4. Запишите пересечение найденных промежутков и учтите ОДЗ.
Решим \(|2x-3|<5\). По правилу получаем \(-5<2x-3<5\). После преобразований имеем \(-1<x<4\). Ответ: \(x\in(-1;4)\). Проверка: при \(x=0\) модуль равен \(3<5\), а при \(x=5\) — \(7>5\), поэтому первый входит в ответ, второй — нет.
Какой промежуток задаёт неравенство \(|x+1|<3\)?
3. Неравенства \(|f(x)|>a\) и \(|f(x)|\ge a\)
Неравенство \(|f(x)|>a\) означает, что расстояние от \(f(x)\) до нуля больше \(a\). Поэтому значение находится левее \(-a\) или правее \(a\). Ответ обычно является объединением двух промежутков. Это правило также связано со страницей модуль больше числа.
При \(a\ge0\) замените \(|f(x)|>a\) системой из двух случаев: \(f(x)<-a\) или \(f(x)>a\). Решите оба неравенства отдельно и объедините ответы. Для знака \(\ge\) границы \(-a\) и \(a\) включаются.
Решим \(|x^2-4|\ge 3\). Нужно рассмотреть два случая: \(x^2-4\le-3\) или \(x^2-4\ge3\). Первый даёт \(x^2\le1\), то есть \(x\in[-1;1]\). Второй даёт \(x^2\ge7\), то есть \(x\in(-\infty;-\sqrt7]\cup[\sqrt7;+\infty)\). Объединяем результаты: \(x\in(-\infty;-\sqrt7]\cup[-1;1]\cup[\sqrt7;+\infty)\).
Если в правой части стоит переменная или выражение, например \(|f(x)|>g(x)\), простые формулы применимы не сразу: сначала нужно исследовать знак правой части либо использовать раскрытие модуля по промежуткам.
4. Универсальный алгоритм решения
- Перенесите выражения так, чтобы модуль был слева, если это возможно.
- Проверьте знак числа \(a\) справа. При отрицательном \(a\) некоторые случаи решаются сразу.
- Для \(|f(x)|<a\) используйте двойное неравенство; для \(|f(x)|>a\) — два отдельных неравенства.
- Решите линейные, квадратные или другие полученные неравенства подходящим методом, например методом интервалов.
- Объедините или пересеките результаты. Если есть знаменатели, корни или другие ограничения, учтите ОДЗ.
- Проверьте одну точку внутри ответа и одну точку вне ответа.
| Исходный вид | Преобразование при \(a>0\) | Геометрический смысл |
|---|---|---|
| \(|f(x)|<a\) | \(-a<f(x)<a\) | между границами, границы не входят |
| \(|f(x)|\le a\) | \(-a\le f(x)\le a\) | между границами, границы входят |
| \(|f(x)|>a\) | \(f(x)<-a\) или \(f(x)>a\) | вне промежутка |
| \(|f(x)|\ge a\) | \(f(x)\le-a\) или \(f(x)\ge a\) | вне промежутка, границы входят |
Не заменяйте \(|f(x)|>a\) двойным неравенством \(-a<f(x)<a\): это правило относится к знаку «меньше». Не забывайте менять знак неравенства при делении на отрицательное число. При строгом знаке точки-границы не включаются. Нельзя объединять решения двух случаев через пересечение: для «или» используется объединение.
Выберите число из найденного промежутка и подставьте его в исходное неравенство. Затем проверьте число сразу за границей. Такая проверка часто обнаруживает перепутанные скобки или неверный знак.
5. Связь с другими видами задач
Неравенство с одним модулем часто превращается в двойное неравенство или объединение двух промежутков. Если модулей два, удобно перейти к странице неравенство с двумя модулями. Если модуль входит в систему, после решения каждого условия нужно найти пересечение решений; это продолжает тему систем неравенств.
В заданиях экзамена выражение внутри модуля может быть дробью, квадратным трёхчленом или содержать корень. Тогда сначала проверяют ОДЗ, а затем применяют правило модуля. Задачи с параметром требуют отдельного анализа знаков и разобраны на странице система неравенств с модулем и параметром.
Быстрая проверка
Главное
- При \(a>0\) неравенство \(|f(x)|<a\) превращается в \(-a<f(x)<a\), а знак \(\le\) включает границы.
- Неравенство \(|f(x)|>a\) превращается в \(f(x)<-a\) или \(f(x)>a\); результаты объединяются.
- При строгом неравенстве граничные точки не входят в ответ.
- Перед применением правила проверьте знак правой части, ОДЗ и изменение знака при делении на отрицательное число.
- Для проверки подставьте точки внутрь найденного ответа и вне его.