Модуль и неравенства
Неравенства с модулем удобно решать не «раскрытием наугад», а сведением к известным условиям. В этой теме используются свойства модуля, интервалы на числовой прямой, системы и совокупности; она является частью общей темы неравенств с модулями.
Что означает модуль
Модуль числа \(a\) — это расстояние от точки \(a\) до нуля на координатной прямой. Поэтому модуль неотрицателен: расстояние не бывает отрицательным. При раскрытии модуля важно определить, какое выражение находится внутри него и при каких \(x\) оно положительно или отрицательно.
Для любого действительного числа \(a\) справедливо: \(|a|=a\), если \(a\ge 0\), и \(|a|=-a\), если \(a<0\). В частности, \(|-a|=|a|\) и \(|a|\ge 0\).
Геометрический смысл помогает запомнить основные равносильные переходы. Неравенство \(|x|<a\) означает, что расстояние от \(x\) до нуля меньше \(a\), а \(|x|>a\) — что это расстояние больше \(a\). Эти правила применяются только при \(a>0\); при \(a\le 0\) нужно отдельно проверить смысл неравенства.
Основные правила сведения
Если \(a>0\), то \(|f(x)|<a\) равносильно двойному неравенству \(-a<f(x)<a\). Для знаков \(\le\) получается \(-a\le f(x)\le a\).
Если \(a>0\), то \(|f(x)|>a\) равносильно совокупности двух условий: \(f(x)<-a\) или \(f(x)>a\). Для знаков \(\ge\) границы включаются.
Двойное неравенство означает систему: оба условия должны выполняться одновременно. Слово «или» означает совокупность: достаточно выполнения хотя бы одного условия. При записи решения это различие особенно важно.
| Исходное условие | После сведения | Тип объединения |
|---|---|---|
| \(|f(x)|<a\), \(a>0\) | \(-a<f(x)<a\) | система |
| \(|f(x)|\le a\), \(a>0\) | \(-a\le f(x)\le a\) | система |
| \(|f(x)|>a\), \(a>0\) | \(f(x)<-a\) или \(f(x)>a\) | совокупность |
| \(|f(x)|\ge a\), \(a>0\) | \(f(x)\le-a\) или \(f(x)\ge a\) | совокупность |
Если модуль меньше числа, думайте о промежутке между двумя границами. Если модуль больше числа, думайте о двух внешних лучах. Это позволяет быстро проверить ответ на числовой прямой.
Какой записью равносильно неравенство \(|2x-1|\le 3\)?
Если справа стоит ноль или отрицательное число
Перед применением стандартных формул проверьте число справа. Модуль всегда неотрицателен, поэтому часть случаев решается сразу.
\(|f(x)|<0\) решений не имеет; \(|f(x)|\ge0\) выполняется при всех допустимых \(x\); \(|f(x)|=0\) равносильно \(f(x)=0\); \(|f(x)|>0\) равносильно \(f(x)\ne0\).
Если \(a<0\), то \(|f(x)|\le a\) и \(|f(x)|<a\) невозможны. Условия \(|f(x)|\ge a\) и \(|f(x)|>a\) выполняются при всех допустимых \(x\), потому что левая часть неотрицательна.
Под «допустимыми» понимаются значения, для которых определено выражение \(f(x)\). Например, если в нём есть дробь, нельзя забывать об ограничениях на знаменатель; для логарифмических выражений сначала учитывают область определения логарифмического неравенства.
Линейные неравенства с модулем
После сведения модуля обычно получают одно или два линейных неравенства. Систему решают пересечением промежутков, а совокупность — их объединением. Полезно сразу переносить числа и делить на коэффициент, помня: при делении на отрицательное число знак неравенства меняется.
Решим неравенство \(|3x-2|\ge 4\).
Ответ состоит из двух внешних промежутков. Это соответствует геометрическому смыслу: выражение \(3x-2\) должно находиться не ближе чем на \(4\) единицы от нуля.
Показать проверку Проверка
Возьмём \(x=0\): \(|3\cdot0-2|=2<4\), поэтому \(0\) не должен входить в ответ. Он действительно находится между \(-\frac23\) и \(2\). Возьмём \(x=3\): \(|9-2|=7\ge4\), и \(3\) входит в правый луч.
Если после сведения появляются квадратные выражения, используют методы решения неравенств второй степени графическим методом или метод интервалов. Когда выражение удобно рассматривать как функцию, границы можно найти по пересечениям графиков; этот подход связан с решением неравенств по графику.
Раскрытие модуля по промежуткам
Иногда модуль нельзя сразу заменить формулой «между» или «вне», например в выражении \(|x-1|+|x+2|\le5\). Тогда находят точки, где выражения под модулями обращаются в ноль: \(x=1\) и \(x=-2\). Они делят числовую прямую на три промежутка. На каждом промежутке знаки выражений постоянны, поэтому модули раскрываются однозначно.
- Найти нули всех выражений под модулями.
- Разбить числовую прямую этими точками.
- Выбрать контрольную точку в каждом промежутке и определить знаки.
- Раскрыть модули, решить полученное неравенство на этом промежутке.
- Объединить подходящие части и отдельно проверить граничные точки, если знак нестрогий.
Такой способ особенно полезен в смешанных задачах и системах. В системе каждое найденное условие нужно пересечь с другими; при необходимости целые точки можно дополнительно отобрать, как в задачах на целые решения системы.
1) Путают систему и совокупность: при \(|f(x)|<a\) нельзя писать «или». 2) Применяют формулу при \(a\le0\) без проверки. 3) Теряют знак при делении на отрицательное число. 4) Для \(\le\) и \(\ge\) забывают включить концы промежутков. 5) Раскрывают \(|f(x)|\) как \(f(x)\) без проверки знака \(f(x)\). 6) Не учитывают область определения исходного выражения.
Меньше модуля — внутри: \(|f(x)|<a\Rightarrow -a<f(x)<a\). Больше модуля — снаружи: \(|f(x)|>a\Rightarrow f(x)<-a\) или \(f(x)>a\).
Алгоритм решения
- Перенести выражение так, чтобы модуль сравнивался с числом, если это возможно.
- Проверить знак правой части и область определения.
- Выбрать правило: «меньше — система», «больше — совокупность».
- Решить полученные простые неравенства.
- Пересечь или объединить промежутки в соответствии с логической связкой.
- Проверить концы и одну-две точки из ответа.
Быстрая проверка
Главное
- Модуль — неотрицательное расстояние; сначала проверяют знак правой части и область определения.
- \(|f(x)|<a\) при \(a>0\) превращается в систему \(-a<f(x)<a\).
- \(|f(x)|>a\) при \(a>0\) превращается в совокупность \(f(x)<-a\) или \(f(x)>a\).
- Система означает пересечение решений, совокупность — их объединение.
- Для нескольких модулей находят нули выражений под модулями и раскрывают их по промежуткам.
- Границы включаются только при нестрогих знаках \(\le\) и \(\ge\).