Задание № 6 · ЕГЭ

Модуль меньше числа

Как решить неравенство \(|x|<a\) при положительном \(a\)

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Неравенство \(|x|<a\) при \(a>0\) означает, что число \(x\) находится от нуля на расстоянии меньше \(a\). Поэтому его решение записывают в виде двойного неравенства: \(-a<x<a\).

Модуль меньше числаМодуль числа — это его расстояние от нуля на координатной прямой.

Неравенство \(|x|<a\) называется неравенством с модулем, где \(a\) — положительное число. Оно равносильно двойному неравенству \(-a<x<a\): значение \(x\) больше левой границы \(-a\) и меньше правой границы \(a\). Множество решений — открытый промежуток \((-a;a)\).

Основное правило

\[|x|<a\quad\Longleftrightarrow\quad -a<x<a,\qquad a>0\]

Чтобы решить такое неравенство, достаточно раскрыть смысл модуля как расстояния от нуля. Если расстояние \(|x|\) меньше \(a\), то точка с координатой \(x\) лежит между точками \(-a\) и \(a\). Границы не входят в ответ, потому что знак строгий: при \(x=-a\) или \(x=a\) получаем \(|x|=a\), а не меньшее значение.

№

Пример

Решим \(|x|<4\). По правилу получаем \(-4<x<4\). Ответ: \(x\in(-4;4)\). Например, \(x=3\) подходит, а \(x=4\) не подходит, так как \(|4|=4\).

Проверь себя

Какое двойное неравенство равносильно \(|x|<7\)?

Не путайте со знаком больше

Для неравенств с модулями важно различать знаки: \(|x|<a\) даёт промежуток \((-a;a)\), а \(|x|>a\) даёт два луча: \(x<-a\) или \(x>a\). При \(a\le0\) правило для положительного \(a\) напрямую применять нельзя.

Главное за минуту

Главное

При \(a>0\) неравенство \(|x|<a\) равносильно двойному неравенству \(-a<x<a\).
Ответ записывают открытым промежутком \((-a;a)\).
Строгий знак означает, что точки \(-a\) и \(a\) в решение не входят.