Неравенства второй степени графическим методом
Графический метод решения неравенства второй степени состоит в том, чтобы построить параболу \(y=ax^2+bx+c\) и определить, на каких промежутках она расположена выше или ниже оси абсцисс \(Ox\).
Алгоритм
- Рассмотреть функцию \(y=ax^2+bx+c\) и понять направление ветвей: при \(a>0\) они направлены вверх, при \(a<0\) — вниз.
- Найти корни уравнения \(ax^2+bx+c=0\) или определить их по графику.
- Выбрать промежутки, где парабола выше оси \(Ox\) для знака \(>\) или \(\ge\), и ниже оси для знака \(<\) или \(\le\).
- При нестрогом знаке включить корни в ответ; при строгом знаке корни не включать.
Решим неравенство \(x^2-5x+6\le 0\). Парабола \(y=x^2-5x+6\) направлена вверх и пересекает ось \(Ox\) в точках \(x=2\) и \(x=3\). Между корнями график находится ниже оси, а знак неравенства нестрогий, поэтому корни включаются: \(x\in[2;3]\).
Если \(a>0\), значения функции отрицательны между двумя корнями и положительны вне этого промежутка. Если \(a<0\), наоборот: положительные значения находятся между корнями, а отрицательные — снаружи. Для общего повторения см. график квадратичной функции и неравенства.
Какой ответ имеет неравенство \(-x^2+4x-3>0\)?
Графический метод особенно удобен, когда расположение параболы легко определить по корням и направлению ветвей. Он является одним из способов, рассматриваемых в теме неравенства второй степени, и связан с общим решением неравенств по графику.
Главное
- Парабола выше оси \(Ox\) соответствует положительным значениям выражения, ниже — отрицательным.
- Направление ветвей определяется знаком коэффициента \(a\).
- Корни включают в ответ только при знаках \(\ge\) или \(\le\).