Неравенства второй степени
Неравенство второй степени — это неравенство, в котором неизвестная входит во второй степени. Его решают через корни соответствующего квадратного уравнения и определяют знаки выражения на промежутках.
Основное правило
Сначала находят корни уравнения \(ax^2+bx+c=0\). Для этого используют дискриминант квадратного уравнения. Если корни различны и упорядочены: \(x_1<x_2\), то выражение имеет знак старшего коэффициента \(a\) вне отрезка \([x_1;x_2]\) и противоположный знак внутри него.
Если \(a<0\), знаки меняются на противоположные: выражение отрицательно вне корней и положительно между ними. При строгих знаках \(>\) и \(<\) сами корни не включают; при \(\ge\) и \(\le\) корни включают.
Решим \(x^2-5x+6\le 0\). Корни уравнения \(x^2-5x+6=0\): \(x_1=2\), \(x_2=3\). Старший коэффициент положительный, поэтому выражение неположительно между корнями. Ответ: \(x\in[2;3]\).
Корни уравнения — это только границы промежутков, а не всегда весь ответ. Нужно определить знак выражения между корнями и вне их. Также не следует автоматически включать корни: это зависит от знака неравенства.
Каков знак выражения \(-x^2+4\) при \(x<-2\) или \(x>2\)?
Решение удобно оформлять на числовой прямой: отметить корни, расставить знаки и выбрать подходящие промежутки. Альтернативный способ — графический метод: сравнить график параболы с осью \(x\).
Главное
- Найдите корни уравнения \(ax^2+bx+c=0\).
- Знак вне и внутри корней определяется знаком старшего коэффициента.
- Строгие неравенства не включают корни, нестрогие — включают их.