Тапсырмалар № 10, 14 · ЕГЭ

Теорема о промежутках знакопостоянства

Как меняется знак многочлена при переходе через его корни

2 мин чтенияҚиындық: Обновлено 27 қыркүйек 2026

Теорема о промежутках знакопостоянства объясняет, как меняется знак многочлена на числовой прямой. При переходе через корень нечётной кратности знак меняется, а через корень чётной кратности — сохраняется.

Пусть \(P(x)\) — многочлен, а \(x_0\) — его корень. Если кратность корня \(x_0\) нечётная, то при переходе через точку \(x_0\) значения многочлена меняют знак. Если кратность корня чётная, знак многочлена по обе стороны от \(x_0\) одинаков. Поэтому на каждом промежутке, не содержащем корней, многочлен сохраняет постоянный знак.

Формула и правило

\[P(x)=(x-x_1)^{m_1}(x-x_2)^{m_2}\cdots(x-x_n)^{m_n}\cdot Q(x),\qquad Q(x)\ne 0\]

Здесь \(x_1,\ldots,x_n\) — различные корни, а \(m_1,\ldots,m_n\) — их кратности. Если идти слева направо по числовой прямой, знак меняют только множители с нечётными показателями \(m_i\). Между соседними корнями знак постоянен. Это правило используется в методе интервалов, который строится с учётом кратности корня.

Как определить знаки

Отметьте корни на числовой прямой и разделите её на промежутки. Найдите знак многочлена на одном промежутке, например подстановкой удобной точки. При переходе через корень нечётной кратности поменяйте знак; при переходе через корень чётной кратности оставьте его прежним.

№

Пример

Рассмотрим \(P(x)=(x+2)^2(x-1)\). Корень \(x=-2\) имеет чётную кратность \(2\), поэтому знак около него не меняется. Корень \(x=1\) имеет нечётную кратность \(1\), поэтому при переходе через него знак меняется. Например, при \(x=2\) многочлен положителен, значит на промежутке \((1; +\infty)\) знак «+», на \((-2;1)\) — «−», а на \((-\infty;-2)\) снова «−».

Не путайте

Сам факт наличия корня не означает смену знака. Она происходит только при нечётной кратности. График в корне чётной кратности касается оси \(Ox\) и возвращается на ту же сторону, а в корне нечётной кратности обычно пересекает ось.

Проверьте себя

Как изменится знак функции при переходе через корень \(x=3\) кратности \(4\)?

Главное за минуту

Главное

На каждом промежутке между соседними корнями многочлен сохраняет знак.
Через корень нечётной кратности знак меняется, через корень чётной кратности — нет.
Для шешімдер неравенств учитывайте кратности корней и проверяйте знак хотя бы на одном промежутке.