ЕГЭОГЭЕНТ
РУҚА
Задания № 7, 9, 10 · ЕГЭ

Метод интервалов

Алгоритм определения знаков произведения и дроби на числовой прямой
3 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Метод интервалов — это алгоритм, с помощью которого находят промежутки, где произведение или дробь имеют положительный либо отрицательный знак. Метод особенно удобен при решении неравенств, когда выражение можно разложить на множители.

Метод интерваловНазвание связано с тем, что знак выражения исследуют отдельно на каждом числовом промежутке.
Метод интервалов — способ решения неравенств вида \(f(x)>0\), \(f(x)<0\), \(f(x)\ge 0\) или \(f(x)\le 0\): находят нули числителя и знаменателя, отмечают их на числовой прямой, разбивают прямую на промежутки и определяют знак выражения на каждом из них.

Алгоритм

  1. Привести неравенство к виду, в котором одна часть равна нулю, и разложить выражение на множители.
  2. Найти значения переменной, при которых каждый множитель равен нулю. Для дроби отдельно отметить значения, обращающие знаменатель в ноль.
  3. Отметить найденные точки на числовой прямой, используя числовые промежутки.
  4. Определить знак выражения на каждом промежутке. Можно выбрать по одной точке из промежутка или воспользоваться правилом чередования знаков.
  5. Выбрать промежутки, на которых знак соответствует условию неравенства, и учесть границы.
\[\frac{(x-a)(x-b)}{x-c}\;\begin{cases}>0,\\<0\end{cases}\]1

На каждом промежутке знак произведения или дроби равен произведению знаков её множителей. Знак может измениться при переходе через корень нечётной кратности; через корень чётной кратности знак не меняется. Значения, при которых знаменатель равен нулю, никогда не входят в ответ. Это следует из теоремы о промежутках знакопостоянства.

№
Пример

Решим неравенство \(\frac{x-1}{x+2}\ge 0\). Критические точки: \(x=1\) — нуль числителя, \(x=-2\) — нуль знаменателя. На промежутках \((-\infty;-2)\), \((-2;1)\) и \((1;+\infty)\) знаки соответственно «+», «−», «+». Точку \(1\) включаем, потому что там дробь равна нулю, а точку \(-2\) исключаем. Ответ: \((-\infty;-2)\cup[1;+\infty)\).

!
Не перепутайте

Метод интервалов применяют не к отдельному многочлену как к набору коэффициентов, а к знакам его множителей. При решении дроби нельзя сокращать множитель и забывать исходное запрещённое значение знаменателя. Подробные случаи разобраны в статьях метод интервалов для многочлена и метод интервалов для дроби.

Проверьте себя

Как поступают с точкой, в которой знаменатель дроби равен нулю?

Главное за минуту

Главное

  • Разметьте нули числителя и знаменателя на числовой прямой.
  • Определите знак выражения на каждом промежутке и выберите подходящие промежутки.
  • Нули числителя можно включать при нестрогом неравенстве, а нули знаменателя исключают всегда.