Метод интервалов для дроби
Дробно-рациональные неравенства решают методом интервалов: находят нули числителя и знаменателя, отмечают их на числовой прямой и определяют знак дроби на каждом промежутке. Главное отличие дроби от многочлена: нули знаменателя всегда исключаются из ответа.
Что нужно найти перед построением интервалов
Приведём неравенство к виду одной дроби: \(\frac{P(x)}{Q(x)}\;\square\;0\), где \(\square\) — один из знаков \(>, <, \ge, \le\). Если справа стоит не ноль, перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю. Затем раскладываем числитель и знаменатель на множители, если это возможно.
Критическими точками называют все действительные числа, при которых числитель равен нулю или знаменатель равен нулю. Нули числителя могут войти в ответ при нестрогом знаке, а нули знаменателя не входят никогда.
После упорядочивания критических точек они разбивают числовую прямую на промежутки. Внутри каждого промежутка знак дроби постоянен, потому что ни один множитель не обращается в ноль и не меняет знак.
Чтобы решить дробно-рациональное неравенство, нужно: 1) перенести всё в одну часть; 2) разложить числитель и знаменатель на множители; 3) найти и отметить нули числителя и знаменателя; 4) определить знак дроби на каждом промежутке; 5) выбрать промежутки нужного знака; 6) включить нули числителя только при \(\ge\) или \(\le\), а нули знаменателя исключить всегда.
Как расставлять знаки
Есть два удобных способа. Первый — выбрать по одной пробной точке на каждом промежутке и подставить её в исходную дробь. Второй — начать знак на крайнем промежутке и переходить через критические точки. При переходе через корень нечётной кратности знак меняется, при переходе через корень чётной кратности — сохраняется. Это связано с кратностью корня и знаком выражения.
Для дроби удобно учитывать знак каждого множителя отдельно. Например, для \(\frac{(x-a)(x-b)}{x-c}\) знак равен произведению знаков трёх множителей. Можно составить таблицу знаков или воспользоваться правилами знаков на числовой прямой.
| Точка или промежуток | Что происходит |
|---|---|
| Нуль числителя нечётной кратности | Знак меняется; точка может войти в ответ при нестрогом неравенстве |
| Нуль числителя чётной кратности | Знак не меняется; точка может войти в ответ при нестрогом неравенстве |
| Нуль знаменателя | Дробь не определена; точка всегда исключается |
| Промежуток между соседними точками | Знак дроби постоянен |
Знаменатель проверяют отдельно: если он равен нулю, исходное выражение не существует. Нельзя «включить» такую точку даже при знаке \(\ge\) или \(\le\).
Какая точка обязательно исключается из решения неравенства \(\frac{x-2}{x+5}\ge 0\)?
Разобранный пример
Решим неравенство экзаменационного типа:
Нужно найти все \(x\), при которых дробь отрицательна или равна нулю. Точка \(x=2\) будет исключена, потому что она обращает знаменатель в ноль.
В записи ответа круглая скобка у \(2\) обязательна: это запрещённое значение. Точки \(-3\) и \(1\) обозначены квадратными скобками, поскольку дробь там равна нулю и знак неравенства допускает равенство.
Особые случаи и проверка ответа
Если одинаковый множитель есть в числителе и знаменателе, сокращать его можно только с ограничением. Например, выражение \(\frac{(x-4)(x+1)}{x-4}\) при \(x\ne4\) равно \(x+1\), но точка \(x=4\) остаётся запрещённой. После сокращения её нужно сохранить в области допустимых значений.
Если знаменатель представлен квадратным трёхчленом, сначала выясняют, имеет ли он действительные корни. При отрицательном дискриминанте его знак постоянен и определяется старшим коэффициентом. Если корни есть, они также становятся критическими точками.
Ответ записывают объединением подходящих промежутков. Полезно сделать объединение промежутков только после того, как правильно расставлены скобки.
1) Включают нуль знаменателя при \(\ge\) или \(\le\). Нельзя: выражение не определено. 2) Меняют знак только в точках числителя и забывают про корни знаменателя. 3) Решают сокращённое выражение без сохранения запрещённого значения. 4) Неверно читают нестрогий знак: при \(\le0\) нужны отрицательные значения и нули, а при \(<0\) — только отрицательные. 5) Не приводят дробь к одной части и из-за этого теряют знак при переносе.
Возьми по одному числу из каждого выбранного промежутка и подставь в исходное неравенство. Отдельно проверь все включённые концы: в нуле числителя значение должно быть допустимым, а в нуле знаменателя проверка запрещена.
Алгоритм в краткой записи
- Перенести все слагаемые в левую часть и получить сравнение с нулём.
- Разложить числитель и знаменатель на множители.
- Выписать ОДЗ: знаменатель не равен нулю.
- Отметить на прямой нули числителя и знаменателя в порядке возрастания.
- Расставить знаки на полученных промежутках.
- Выбрать нужный знак и правильно расставить круглые и квадратные скобки.
- Проверить ответ подстановкой и ограничениями ОДЗ.
Быстрый тест
Главное
- Приведи неравенство к виду одной дроби, сравниваемой с нулём.
- Критические точки — нули числителя и знаменателя; они делят прямую на промежутки постоянного знака.
- Нули знаменателя исключаются всегда, нули числителя включаются только при нестрогом неравенстве и допустимом знаменателе.
- Знак на каждом промежутке находят подстановкой или переходом через корни с учётом их кратности.
- После решения обязательно проверь ОДЗ и сохрани запрещённые точки после сокращения.