ЕГЭОГЭЕНТ
РУҚА
Задания № 7, 9, 10 · ЕГЭ

Дробно-рациональное неравенство

Определение, общий вид и решение методом интервалов
2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Дробно-рациональное неравенство — это неравенство, в котором неизвестная входит в числитель или знаменатель рациональной дроби. Его обычно решают методом интервалов: находят нули числителя и знаменателя, отмечают их на числовой прямой и определяют знак выражения на каждом промежутке.

Дробно-рациональное неравенство
Неравенство вида \(\frac{P(x)}{Q(x)}>0\), \(\frac{P(x)}{Q(x)}<0\), \(\frac{P(x)}{Q(x)}\ge 0\) или \(\frac{P(x)}{Q(x)}\le 0\), где \(P(x)\) и \(Q(x)\) — многочлены, а \(Q(x)\ne 0\). Неравенство может содержать несколько рациональных дробей, которые сначала приводят к общей дроби.

Как решать

  1. Перенести все слагаемые в одну часть и привести выражение к виду \(\frac{P(x)}{Q(x)}\mathrel{\square}0\).
  2. Найти ОДЗ: значения, при которых знаменатель равен нулю, исключаются.
  3. Найти нули числителя и знаменателя и отметить их на числовой прямой.
  4. Определить знак дроби на каждом промежутке, используя метод интервалов.
  5. Выбрать промежутки с нужным знаком. Нули числителя включают при знаках \(\ge\) или \(\le\), а нули знаменателя не включают никогда.
\[\frac{P(x)}{Q(x)}\mathrel{\square}0,\qquad Q(x)\ne 0\]
№
Пример

Решим неравенство \(\frac{x-2}{x+1}\ge 0\). Критические точки: \(x=2\) — нуль числителя, \(x=-1\) — нуль знаменателя. Знаки дроби положительны на промежутках \((-\infty;-1)\) и \((2;+\infty)\), отрицательны на \((-1;2)\). Точка \(2\) входит, а точка \(-1\) исключается. Ответ: \((-\infty;-1)\cup[2;+\infty)\).

!
Частая ошибка

Дробно-линейное неравенство — частный случай дробно-рационального: в нём числитель и знаменатель линейные. Нельзя сокращать общий множитель без проверки его нулей: значение, обращающее исходный знаменатель в ноль, остаётся запрещённым. Это важно и для неравенства с переменным знаменателем.

Проверь себя

Какая точка не может входить в ответ дробно-рационального неравенства?

Главное за минуту

Главное

  • Сначала приведите неравенство к одной дроби и найдите ОДЗ.
  • Критические точки — нули числителя и знаменателя; по ним разбивают числовую прямую.
  • Нули знаменателя исключают всегда, а нули числителя включают только при нестрогом неравенстве.