Задание № 6 · ЕГЭ

Дробно-линейное неравенство

Определение, формула и решение методом интервалов

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Дробно-линейное неравенство — это неравенство, в котором неизвестная входит в числитель и знаменатель линейной дроби. Его решают с помощью метода интервалов для дроби: находят критические точки, определяют знаки на промежутках и учитывают ограничения области допустимых значений.

Неравенство вида \(\frac{ax+b}{cx+d} > 0\), \(\frac{ax+b}{cx+d} < 0\), \(\frac{ax+b}{cx+d} \ge 0\) или \(\frac{ax+b}{cx+d} \le 0\), где \(a,b,c,d\) — числа, а \(c \ne 0\). При этом знаменатель не должен обращаться в ноль: \(cx+d \ne 0\).

Ключевая формула

\[\frac{ax+b}{cx+d} \ \square\ 0, \qquad cx+d \ne 0\]

Для решения нужно приравнять к нулю числитель и знаменатель. Получаются две критические точки: \(x_1=-\frac{b}{a}\) — нуль числителя, если \(a\ne0\), и \(x_2=-\frac{d}{c}\) — запрещённое значение, при котором знаменатель равен нулю. Эти точки разбивают числовую прямую на промежутки. Знак дроби на каждом промежутке определяют по знакам числителя и знаменателя или подстановкой одной пробной точки.

№

Пример

Решим неравенство \(\frac{x-2}{x+1}\ge0\). Критические точки: \(x=2\) — нуль числителя и \(x=-1\) — запрещённая точка. На промежутках \((-\infty;-1)\), \((-1;2)\) и \((2;+\infty)\) знаки дроби соответственно положительный, отрицательный и положительный. Точку \(2\) включаем, потому что неравенство нестрогое, а точку \(-1\) исключаем. Ответ: \((-\infty;-1)\cup[2;+\infty)\).

Не перепутайте

Дробно-линейное неравенство — частный случай дробно-рационального неравенства. Нельзя без проверки умножать обе части на знаменатель: его знак неизвестен и может менять знак неравенства. Кроме того, значение, обращающее знаменатель в ноль, всегда исключается из ответа.

Проверь себя

Какая точка обязательно исключается из решения неравенства \(\frac{3x-1}{x-4}\le0\)?

Главное за минуту

Главное

Дробно-линейное неравенство содержит отношение двух линейных выражений.
Критические точки — нуль числителя и нуль знаменателя; последняя всегда запрещена.
Знаки на промежутках определяют методом интервалов, а нуль числителя включают только при нестрогом неравенстве.