ЕГЭОГЭЕНТ
РУҚА
Задания № 9, 14 · ЕГЭ

Неравенство с переменным знаменателем

Метод интервалов, ОДЗ и правила знаков для дробей с переменной в знаменателе
6 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Неравенство с переменным знаменателем решают как дробно-рациональное: сначала находят ОДЗ, затем переносят всё в одну часть и применяют метод интервалов. Главная особенность — значения, обращающие знаменатель в ноль, никогда не входят в ответ.

Вид неравенства и область допустимых значений

Дробь с переменным знаменателем имеет вид \(\frac{P(x)}{Q(x)}\), где \(P(x)\) и \(Q(x)\) — многочлены, а \(Q(x)\) зависит от переменной. Неравенства могут быть строгими или нестрогими: \(\frac{P(x)}{Q(x)}>0\), \(\frac{P(x)}{Q(x)}\le 0\) и другие.

D
ОДЗ

Область допустимых значений — все значения переменной, при которых выражение имеет смысл. Для дроби \(\frac{P(x)}{Q(x)}\) знаменатель должен быть отличен от нуля: \(Q(x)\ne0\).

\[Q(x)\ne 0\]

Если знаменатель разложен на множители, каждый множитель также не должен обращаться в ноль. Например, для \(\frac{x+1}{(x-2)(x+3)}\) ОДЗ задаётся условиями \(x\ne2\) и \(x\ne-3\). Эти точки отмечают на числовой прямой пустыми точками, даже если знак неравенства нестрогий.

!
Частая ошибка

Нельзя после умножения неравенства на знаменатель забывать, что его знак неизвестен. При отрицательном знаменателе знак неравенства меняется, поэтому безопаснее привести выражение к одной дроби и использовать метод интервалов.

Алгоритм решения

Решение удобно оформлять по следующим шагам. Такой порядок помогает не потерять ограничения и правильно расставить знаки.

  1. Перенесите все слагаемые в левую часть, чтобы справа был ноль.
  2. Приведите левую часть к одной дроби.
  3. Разложите числитель и знаменатель на множители, если это возможно.
  4. Запишите ОДЗ: исключите корни знаменателя.
  5. Найдите все нули числителя и знаменателя и расположите их по возрастанию на числовой прямой.
  6. Определите знак дроби на каждом промежутке. Можно выбрать по одной пробной точке или проследить изменение знака при переходе через корень нечётной кратности.
  7. Выберите нужные промежутки по знаку неравенства и проверьте концы.
\[\frac{P(x)}{Q(x)}\;\begin{cases}>0\\<0\\\ge 0\\\le 0\end{cases}\]
T
Правило включения границ

Нули числителя включают в ответ при знаках \(\ge\) и \(\le\), если в этих точках выражение определено. Нули знаменателя не включают никогда: они нарушают ОДЗ.

Если нуль числителя имеет чётную кратность, знак дроби при переходе через него не меняется; если нечётную — меняется. Нули знаменателя также меняют знак при нечётной кратности, но точка всё равно остаётся исключённой. Подробнее о повторяющихся корнях см. в методе интервалов для кратных корней.

Проверь себя

Какую точку нужно исключить из ответа при решении \(\frac{x-1}{x+4}\ge0\)?

Разобранный пример

Решим неравенство \(\frac{x^2-5x+6}{x^2-4}\le0\). Оно имеет типичную для экзамена структуру: квадратный числитель и переменный знаменатель.

№
Пример

Нужно найти все значения \(x\), при которых дробь не положительна. Сначала разложим многочлены, затем учтём ОДЗ и знаки.

1
Переносить ничего не нужно: справа уже стоит ноль в смысле сравнения дроби со знаком.
\(\displaystyle \frac{x^2-5x+6}{x^2-4}\le0\)
2
Разложим числитель и знаменатель на множители.
\(\displaystyle \frac{(x-2)(x-3)}{(x-2)(x+2)}\le0\)
3
Знаменатель не должен обращаться в ноль.
\(\displaystyle x^2-4\ne0\quad\Longrightarrow\quad x\ne-2,\;x\ne2\)
4
Критические точки: \(-2\) и \(2\) — нули знаменателя, \(3\) — оставшийся нуль числителя. Точка \(2\) сокращается алгебраически, но из ОДЗ не исчезает.
\(\displaystyle -2\quad\vert\quad2\quad\vert\quad3\)
5
После сокращения виден знак дроби, но ограничение \(x\ne2\) сохраняется.
\(\displaystyle \frac{(x-2)(x-3)}{(x-2)(x+2)}=\frac{x-3}{x+2},\quad x\ne-2,2\)
6
Проверим знаки на промежутках \((-\infty,-2)\), \((-2,2)\), \((2,3)\) и \((3,+\infty)\). Знак меняется при переходе через \(-2\) и \(3\), а в точке \(2\) после сокращения знак не меняется.
\(\displaystyle \begin{array}{c|cccc}x&(-\infty,-2)&(-2,2)&(2,3)&(3,+\infty)\\\hline\frac{x-3}{x+2}&+&-&-&+\end{array}\)
7
Берём промежутки, где дробь отрицательна, и нуль числителя \(x=3\), потому что знак нестрогий. Точки \(-2\) и \(2\) исключаем.
\(\displaystyle x\in(-2,2)\cup(2,3]\)
Важный вывод из примера

Сокращение одинаковых множителей может скрыть «выколотую» точку. В примере выражение после сокращения равно \(\frac{x-3}{x+2}\) только при \(x\ne2\). Поэтому \(x=2\) нельзя добавлять в ответ.

-2023
Числовая прямая с критическими точками; точки знаменателя всегда выколоты.

Двойные неравенства с переменным знаменателем

Двойное неравенство нужно сначала заменить системой двух неравенств. Например, \(a<\frac{P(x)}{Q(x)}\le b\) означает одновременно \(\frac{P(x)}{Q(x)}>a\) и \(\frac{P(x)}{Q(x)}\le b\). Каждое неравенство решают отдельно с одной и той же ОДЗ, затем находят пересечение решений.

\[a<\frac{P(x)}{Q(x)}\le b\quad\Longleftrightarrow\quad\begin{cases}\frac{P(x)}{Q(x)}>a,\\\frac{P(x)}{Q(x)}\le b.\end{cases}\]

Иногда двойное неравенство можно решить преобразованием вида \(a<\frac{P(x)}{Q(x)}\le b\), но умножать сразу на \(Q(x)\) разрешено только после разбора его знака. Поэтому для общего случая надёжнее использовать систему и равносильные неравенства. Если обе границы постоянны, полезно помнить: решение системы — именно пересечение, а не объединение.

Как оформить двойное неравенство

1) Выпишите ОДЗ один раз. 2) Решите левую и правую части отдельно. 3) Нарисуйте две числовые прямые или выпишите интервалы. 4) Пересеките ответы. Такой способ особенно удобен в заданиях, где обе части содержат дроби.

Проверка ответа и типичные ошибки

  • Подставьте по одному числу из каждого выбранного промежутка в исходное, а не в сокращённое выражение.
  • Проверьте каждую границу: нуль числителя при нестрогом знаке включается, нуль знаменателя — нет.
  • Не сокращайте множители без записи ограничений, возникших из исходного знаменателя.
  • Не меняйте знак неравенства при умножении на выражение, знак которого ещё не установлен.
  • Не путайте объединение промежутков \(\cup\) с пересечением \(\cap\) при решении системы.
!
Особенно опасная ошибка

Из равенства \((x-2)(x+2)\ne0\) следует \(x\ne2\) и \(x\ne-2\). Если после сокращения получить дробь \(\frac{x-3}{x+2}\), это не означает, что исходное выражение определено при \(x=2\).

Quick-test

Q
Быстрый тест по теме

Проверь готовность к заданию

~ 2 мин4 вопроса
Вопрос 1 / 4
Вопрос 1 из 4 · ОДЗ
Какая точка исключается из ОДЗ для \(\frac{x+1}{x^2-9}\)?
Главное за минуту

Главное

  • Сначала находите ОДЗ: знаменатель не равен нулю.
  • Приводите неравенство к одной дроби и отмечайте нули числителя и знаменателя.
  • Знаки определяйте на промежутках методом интервалов.
  • Нули числителя включаются при нестрогом знаке, нули знаменателя исключаются всегда.
  • Двойное неравенство заменяйте системой и пересекайте решения.