Объединение и пересечение промежутков
Объединение промежутков содержит все числа, которые принадлежат хотя бы одному из них, а пересечение — только числа, принадлежащие каждому из них одновременно. Эти операции помогают записывать решения совокупностей и систем неравенств.
При записи решений важно учитывать концы промежутков. Круглая скобка означает, что конец не входит в множество, квадратная — что входит. Например, \([2;5)\cap(4;7]= (4;5)\): общими являются числа больше \(4\) и меньше \(5\).
Рассмотрим совокупность \(x<-1\) или \(x\ge 3\). Решение записывают объединением: \((-\infty;-1)\cup[3;+\infty)\). Для системы \(x>-1\) и \(x\le 3\) используется пересечение: \((-1;3]\).
Совокупность неравенств соединяется словом «или», поэтому применяется объединение. Система соединяется словом «и», поэтому применяется пересечение. При пересечении непересекающихся промежутков получается пустое множество: \([1;2]\cap[4;6]=\varnothing\).
Чему равно \((-\infty;2]\cap(0;+\infty)\)?
Для уверенной работы с промежутками полезно повторить числовые промежутки и знаки на числовой прямой. При решении неравенств сначала находят решения каждого условия, затем выбирают нужную операцию.
Главное
- \(A\cup B\) содержит числа хотя бы из одного промежутка; \(A\cap B\) — числа из обоих.
- В совокупности используют объединение, в системе — пересечение.
- Круглые и квадратные скобки показывают, входит ли конец промежутка в решение.