Нестрогое неравенство
Нестрогое неравенство — это неравенство, в котором используются знаки \(\le\) или \(\ge\). Эти знаки означают, что сравниваемые величины могут быть не только меньше или больше друг друга, но и равны.
В неравенстве и его решениях нестрогое неравенство задаёт условие, которому могут удовлетворять несколько чисел. Например, решение неравенства \(x\le 3\) — все числа, не превосходящие \(3\): \(x\in(-\infty;3]\). Квадратная скобка показывает, что число \(3\) входит в промежуток.
Запись и смысл знаков
На числовой прямой граница решения нестрогого неравенства отмечается закрашенной точкой: граничное значение входит в множество решений. Это отличается от строгого неравенства, где используются знаки \(<\) и \(>\), а граничная точка не входит в решение.
Решим неравенство \(2x+1\ge 7\). Вычтем \(1\): \(2x\ge 6\). Разделим на положительное число \(2\): \(x\ge 3\). Ответ: \(x\in[3;+\infty)\). Число \(3\) включено, потому что знак неравенства нестрогий.
Знак \(\le\) означает «меньше или равно», а не только «меньше». Поэтому при проверке нужно учитывать равенство: например, \(5\le5\) — верное утверждение. При умножении или делении неравенства на отрицательное число знак меняется на противоположный.
Какой промежуток является решением неравенства \(x\ge -2\)?
Главное
- Нестрогое неравенство использует знаки \(\le\) и \(\ge\) и допускает равенство.
- Граничное значение входит в решение; на числовой прямой оно отмечается закрашенной точкой, а в записи промежутка — квадратной скобкой.
- При умножении или делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.