Кратность корня
Кратность корня показывает, сколько раз соответствующий множитель входит в левую часть уравнения. Корень чётной кратности обычно не меняет знак выражения, а корень нечётной кратности меняет его.
Как определить кратность
Сначала уравнение приводят к виду \(P(x)=0\) и находят корень \(a\). Для этого часто используют способы решения квадратных уравнений. Затем проверяют, сколько раз множитель \((x-a)\) входит в разложение многочлена.
Это и есть точный признак кратности \(m\). Если известны производные, для многочлена корень имеет кратность не меньше \(m\), когда \(P(a)=P'(a)=\dots=P^{(m-1)}(a)=0\). Если при этом \(P^{(m)}(a)\ne0\), кратность равна \(m\).
Рассмотрим уравнение \((x-2)^3(x+1)=0\). Число \(2\) — корень кратности \(3\): множитель \((x-2)\) встречается три раза. Число \(-1\) — простой корень, потому что множитель \((x+1)\) встречается один раз.
Кратность корня — не то же самое, что количество различных корней уравнения. Например, уравнение \((x-2)^3=0\) имеет один различный корень \(x=2\), но этот корень трёхкратный. О влиянии кратности на знак подробнее говорится на странице «Кратность корня и знак выражения».
Какова кратность корня \(x=1\) уравнения \((x-1)^2(x+3)=0\)?
Главное
- Корень \(a\) имеет кратность \(m\), если \(P(x)=(x-a)^mQ(x)\) и \(Q(a)\ne0\).
- Простой корень имеет кратность \(1\), а кратный — кратность не меньше \(2\).
- Кратность считают по числу повторений множителя, а не по числу различных корней.