Задания № 7, 13 · ЕГЭ

Составное уравнение

Как решать уравнение, разбивая его на отдельные случаи

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Составное уравнение — это уравнение, решение которого разбивают на несколько отдельных случаев, а затем объединяют найденные корни. Такой приём используют, когда вид уравнения меняется в зависимости от значения переменной.

Составное уравнениеНазвание связано с тем, что исходная задача составляется из нескольких отдельных случаев.

Уравнение называют составным, если для его решения нужно рассмотреть несколько случаев, каждый из которых задаётся своим условием, решить полученные уравнения и отобрать только допустимые корни.

Как решают составные уравнения

Сначала находят условия, при которых выражение принимает разные виды. Затем записывают каждый случай вместе с его условием, решают соответствующее уравнение и проверяют, удовлетворяет ли корень условию случая. В конце объединяют подходящие решения.

\[\text{Решение} = \bigcup_{i=1}^{n}\{x:\ x\text{ удовлетворяет условию }i\text{ и уравнению случая }i\}.\]

№

Пример

Решим \(|x-2|=3\). Модуль раскрывают по двум случаям: если \(x-2\ge 0\), то \(x-2=3\), откуда \(x=5\); если \(x-2<0\), то \(-(x-2)=3\), откуда \(x=-1\). Оба корня подходят своим условиям, поэтому ответ: \(x\in\{-1;5\}\).

Не путайте

Составное уравнение — не то же самое, что равносильные уравнения. Равносильными называют уравнения с одинаковым множеством решений, а составным — уравнение, решение которого требует разбора случаев. При переходах между случаями важно не потерять ограничения на переменную.

Проверьте себя

Какие случаи нужно рассмотреть при решении \(|2x+1|=4\)?

Что важно проверить

Условия случаев должны охватывать все допустимые значения переменной и не пересекаться без необходимости.
После решения каждого уравнения нужно проверить корень в условии соответствующего случая.
Если используются ограничения области определения, их учитывают до объединения ответов.

Главное за минуту

Главное

Составное уравнение решают по отдельным случаям.
Каждый найденный корень проверяют по условию своего случая.
Итоговое множество решений получают объединением подходящих корней.