Задания № 18, 19 · ЕГЭ

Параметр в квадратном уравнении

Как исследовать число и значения корней при изменении параметра

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Параметр в квадратном уравнении — это число, значение которого заранее не задано. Исследование такого уравнения состоит в том, чтобы определить, при каких значениях параметра существуют корни и сколько их.

Параметр в квадратном уравненииСлово «параметр» происходит от греческого слова со значением «отмеряющий, определяющий».

Параметр — переменная, которая в конкретном уравнении считается постоянным числом, но может принимать разные значения. Квадратное уравнение с параметром обычно записывают как \(a(t)x^2+b(t)x+c(t)=0\), где \(x\) — неизвестная, \(t\) — параметр, а при каждом допустимом \(t\) уравнение должно оставаться квадратным: \(a(t)\ne0\).

Для решения используют правила решения квадратных уравнений. Сначала находят область допустимых значений параметра и отдельно проверяют случаи, когда коэффициент при \(x^2\) обращается в ноль. Затем исследуют дискриминант.

Основная формула

\[D(t)=b^2(t)-4a(t)c(t)\]

Если \(a(t)\ne0\), то число действительных корней определяется знаком дискриминанта: при \(D(t)>0\) есть два различных корня, при \(D(t)=0\) — один корень, при \(D(t)<0\) действительных корней нет. При \(D(t)=0\) корень является кратным; подробнее см. кратность корня.

№

Пример

Рассмотрим уравнение \(x^2-2tx+1=0\). Здесь \(a=1\), поэтому оно квадратное при любом \(t\). Дискриминант \(D=4t^2-4=4(t-1)(t+1)\). При \(t<-1\) или \(t>1\) — два корня, при \(t=-1\) или \(t=1\) — один, при \(-1<t<1\) — действительных корней нет.

Не перепутайте

Параметр не является ещё одной неизвестной, которую нужно находить вместе с \(x\). Сначала фиксируют значение параметра, а затем решают уравнение относительно \(x\). Если \(a(t)=0\), это уже не квадратное, а уравнение с параметром другой степени.

Проверьте себя

Сколько действительных корней имеет \(x^2+tx+4=0\) при \(t=3\)?

Главное за минуту

Главное

Параметр считают постоянным числом, но исследуют все его допустимые значения.
Для квадратного уравнения проверяют условие \(a(t)\ne0\) и знак дискриминанта \(D(t)\).
Знаки \(D>0\), \(D=0\), \(D<0\) соответствуют двум, одному и отсутствию действительных корней.