Параметр в линейном уравнении
Параметр в линейном уравнении — это переменная, значение которой считают фиксированным при решении, но затем исследуют разные значения этой переменной. В зависимости от параметра уравнение может иметь один корень, бесконечно много корней или не иметь корней.
Основной вид и исследование
После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых уравнение часто сводят к виду \(A(a)x=B(a)\), где \(x\) — неизвестная, а \(a\) — параметр. Сначала нужно определить, при каких значениях параметра коэффициент при \(x\) равен нулю. Именно эти значения нельзя автоматически подставлять в формулу корня: они требуют отдельной проверки.
Если \(A(a)\ne0\), существует единственный корень. Если \(A(a)=0\), уравнение превращается в \(0\cdot x=B(a)\): при \(B(a)=0\) подходят все значения \(x\), а при \(B(a)\ne0\) решений нет. Такой разбор является частью темы уравнения с параметрами.
Рассмотрим \((a-2)x=6\). При \(a\ne2\) имеем единственный корень \(x=\frac{6}{a-2}\). При \(a=2\) получаем \(0\cdot x=6\), то есть противоречие; решений нет. Случая бесконечного множества решений здесь не возникает.
Равенство \(a=2\) не означает, что параметр «нельзя» брать. Это допустимое значение, которое нужно рассмотреть отдельно. Нельзя просто использовать дробную формулу \(x=\frac{6}{a-2}\) при \(a=2\), потому что её знаменатель равен нулю.
Сколько решений имеет уравнение \((a+3)x=0\) при \(a=-3\)?
Главное
- Сначала приведите уравнение к виду \(A(a)x=B(a)\).
- При \(A(a)\ne0\) корень единственный: \(x=\frac{B(a)}{A(a)}\).
- При \(A(a)=0\) отдельно проверьте: \(0=0\) даёт бесконечно много решений, а \(0=c\) при \(c\ne0\) — ни одного.