Уравнение с параметром и модулем
Уравнение с параметром и модулем решают не только относительно переменной \(x\), но и с учётом всех возможных значений параметра. Основной приём — раскрыть модуль по знаку выражения под ним, получить несколько случаев, решить каждый случай и проверить условия его применимости.
Что означает решить уравнение с параметром
Параметр — это величина, значение которой в конкретной задаче считается фиксированным, но заранее неизвестно. Обычно переменная обозначается \(x\), а параметр — \(a\), \(b\) или \(m\). Требуется описать множество решений при всех допустимых значениях параметра либо найти значения параметра, при которых уравнение имеет заданное число корней.
Перед началом решения полезно повторить правила из страницы уравнения с модулями и общий алгоритм страницы уравнения с параметрами. Если параметр стоит в коэффициенте линейного выражения, пригодится также параметр в линейном уравнении.
Для любого действительного числа \(t\) модуль определяется так: \(|t|=t\), если \(t\ge 0\), и \(|t|=-t\), если \(t<0\). Поэтому при раскрытии \(|f(x)|\) нужно определить, где \(f(x)\ge 0\), а где \(f(x)<0\).
Равенство \(|f(x)|=g(x)\) равносильно системе случаев: \(f(x)\ge 0\) и \(f(x)=g(x)\) либо \(f(x)<0\) и \(-f(x)=g(x)\). Каждый найденный корень необходимо проверить в условии соответствующего случая.
Алгоритм решения
- Найти выражение, стоящее под модулем, и решить неравенство \(f(x)\ge 0\). Оно разделит числовую прямую на промежутки.
- На каждом промежутке заменить модуль соответствующим выражением: \(|f(x)|=f(x)\) или \(|f(x)|=-f(x)\).
- Решить полученное уравнение с параметром, сохраняя условие промежутка.
- Объединить подходящие корни и отдельно разобрать особые значения параметра, при которых меняется знак коэффициента, исчезает старшая степень или становятся равными границы.
- Проверить найденные значения подстановкой в исходное уравнение и записать ответ по диапазонам параметра.
Если под модулем стоит линейное выражение \(x-c\), граница раскрытия модуля всего одна: \(x=c\). Если стоит квадратный трёхчлен, сначала нужно изучить его знак по корням или дискриминанту. Здесь может понадобиться квадратное уравнение с параметром, а для анализа числа корней — страница количество корней уравнения.
Как раскрывается \(|2x-6|\) при \(x<3\)?
Разобранный пример
При каких значениях параметра \(a\) уравнение \(|x-2|=a-x\) имеет ровно один корень?
Правая часть должна быть неотрицательной, потому что левая часть всегда \(\ge 0\). Однако удобнее сразу раскрыть модуль по границе \(x=2\).
Итак, ровно один корень получается при \(a>2\). Значение \(a=2\) исключается: при нём решений бесконечно много, а при \(a<2\) решений нет.
Точку, где выражение под модулем равно нулю, обычно включают в случай с неравенством \(\ge 0\). Например, для \(|x-2|\) удобно рассматривать \(x\ge2\) и \(x<2\). Граница \(x=2\) тогда учитывается ровно один раз.
Как исследовать число решений
В задачах экзамена часто требуется найти параметр, при котором число корней равно нулю, одному, двум или бесконечности. После разбиения на случаи нужно считать только те корни, которые попадают в свои промежутки. Один и тот же корень на границе нельзя учитывать дважды.
| Ситуация | Что проверить |
|---|---|
| Линейное уравнение | Не равен ли нулю коэффициент при \(x\); отдельно рассмотреть тождество и противоречие. |
| Квадратное уравнение | Знак дискриминанта, допустимость корней и принадлежность нужному промежутку. |
| Корень на границе модуля | Выполняется ли исходное уравнение; учесть корень только один раз. |
| Несколько модулей | Разбить ось по всем точкам смены знака и решить на каждом промежутке. |
При двух модулях количество промежутков увеличивается, поэтому полезно сначала выписать все точки смены знака на одной числовой прямой. Подробный соседний случай разобран в статье уравнение с двумя модулями. Если после раскрытия получается многочлен высокой степени, могут пригодиться разложение многочлена на множители и корень многочлена.
1. Раскрывать модуль без условия на знак выражения. 2. Решить уравнение на промежутке, но не проверить принадлежность корня этому промежутку. 3. Забыть особое значение параметра, при котором коэффициент при \(x\) или \(x^2\) обращается в ноль. 4. Считать корень на границе дважды. 5. Проверять только преобразованное уравнение, а не исходное. 6. Путать «ровно один корень» с «один корень на каждом случае»: одинаковый корень считается один раз.
Полезные приёмы и запись ответа
- Переносите параметр в одну часть, если это делает знак правой части очевидным.
- Если уравнение имеет вид \(|f(x)|=g(x)\), сначала проверьте необходимое условие \(g(x)\ge0\).
- Для графического подхода рассматривайте пересечение графиков \(y=|f(x)|\) и \(y=g(x)\); число решений — число точек пересечения.
- Границы диапазонов параметра находите из условий попадания корня в промежуток или из равенства корня границе.
- Ответ записывайте кусочно: для каждого диапазона параметра указывайте множество решений или число корней.
Сначала разбиваем область по знаку подмодульного выражения, затем решаем уравнение и только после этого фильтруем корни по условиям случая.
Быстрая проверка
Проверь готовность к задачам
Итоги
- Параметр фиксирован внутри одного решения, но ответ должен учитывать все его значения.
- Модуль раскрывают по знаку выражения под модулем, разбивая ось на случаи.
- Каждый корень проверяют по условию своего случая и в исходном уравнении.
- Особые значения параметра и границы промежутков разбирают отдельно.
- Для исследования числа корней считают только различные допустимые корни.