Корень многочлена
Корень многочлена — это такое значение переменной, при котором значение многочлена равно нулю. Иными словами, чтобы найти корни многочлена, нужно решить уравнение, полученное приравниванием многочлена к нулю.
Определение и формула
Пусть многочлен имеет вид \(P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0\), где \(a_n\ne0\). Число \(r\) является его корнем тогда и только тогда, когда после подстановки \(x=r\) получается ноль.
Если \(r\) — корень многочлена, то многочлен делится на \(x-r\) без остатка: \(P(x)=(x-r)Q(x)\). Это свойство помогает находить корни разложением многочлена на множители. Обратное утверждение также верно: если \(P(x)\) делится на \(x-r\), то \(r\) — его корень.
Проверим, является ли \(2\) корнем многочлена \(P(x)=x^3-5x^2+2x+8\). Подставим значение: \(P(2)=2^3-5\cdot2^2+2\cdot2+8=8-20+4+8=0\). Значит, \(2\) — корень, а \(x-2\) — множитель многочлена.
Корень многочлена — это значение переменной, например \(x=2\), а не выражение \(x-2\) и не коэффициент многочлена. Запись \(x-2\) обозначает множитель, который появляется потому, что \(2\) является корнем.
Какое число является корнем многочлена \(P(x)=x^2-9\)?
Главное
- Корень многочлена \(P(x)\) — число \(r\), для которого \(P(r)=0\).
- Корни находят как решения уравнения \(P(x)=0\).
- Число \(r\) является корнем тогда и только тогда, когда \(x-r\) — множитель многочлена.