Уравнения с модулями
Уравнения с модулями решают, учитывая, что модуль числа показывает его расстояние от нуля и всегда неотрицателен. В этой теме разберём раскрытие модуля по знаку выражения, замену уравнения с модулем совокупностью обычных уравнений и приёмы для нескольких модулей.
Что такое модуль
Модуль действительного числа \(a\) обозначают \(|a|\). Он равен самому числу, если число неотрицательно, и противоположному числу, если число отрицательно. Поэтому \(|5|=5\), а \(|-5|=5\).
Модуль выражения \(|f(x)|\) раскрывается по знаку выражения \(f(x)\): при \(f(x)\ge 0\) получаем \(|f(x)|=f(x)\), при \(f(x)<0\) — \(|f(x)|=-f(x)\).
Геометрически \(|a|\) — расстояние от точки с координатой \(a\) до нуля на координатной прямой. Поэтому модуль не может быть отрицательным.
Уравнение с одним модулем
Главный тип уравнения — \(|f(x)|=a\). Сначала нужно проверить правую часть: если \(a<0\), решений нет, потому что модуль неотрицателен. Если \(a\ge 0\), модуль можно заменить двумя случаями.
При \(a\ge 0\) уравнение \(|f(x)|=a\) равносильно совокупности двух уравнений: \(f(x)=a\) или \(f(x)=-a\). После решения нужно объединить найденные корни и проверить их в исходном уравнении.
Если справа стоит выражение, например \(|f(x)|=g(x)\), сначала полезно учесть условие \(g(x)\ge0\). Затем можно рассматривать два случая \(f(x)=g(x)\) и \(f(x)=-g(x)\), не забывая проверить ограничения.
Решим \(|2x-3|=5\). Правая часть положительна, поэтому используем правило двух случаев.
Такой переход опирается на понятие равносильных уравнений: исходное уравнение и полученная совокупность имеют один и тот же набор решений.
Сколько решений имеет уравнение \(|x+2|=0\)?
Раскрытие модуля по промежуткам
Если модулей несколько или внутри модуля стоит сложное выражение, находят точки, в которых выражения под модулями обращаются в ноль. Эти точки разбивают числовую прямую на промежутки. На каждом промежутке знак каждого выражения постоянен, поэтому модули раскрываются обычным способом.
Алгоритм: выписать выражения под модулями; решить уравнения, приравнивающие их к нулю; отметить полученные точки; определить знаки на каждом промежутке; раскрыть модули; решить полученные уравнения; проверить принадлежность корней своим промежуткам.
На промежутке, где \(f(x)\ge0\), \(|f(x)|=f(x)\), а где \(f(x)<0\), \(|f(x)|=-f(x)\). Границы промежутков обязательно включают в один из рассматриваемых случаев.
Решим уравнение \(|x-1|+|x+2|=5\). Нули выражений под модулями: \(x=1\) и \(x=-2\). Они делят прямую на три промежутка.
Для выражений вида \(|x-a|+|x-b|\) полезно помнить геометрический смысл: это сумма расстояний от точки \(x\) до точек \(a\) и \(b\). Если правая часть меньше \(|a-b|\), решений нет; если равна \(|a-b|\), решениями являются все точки отрезка между \(a\) и \(b\); если больше, обычно получаются две точки.
Другие способы и полезные преобразования
Иногда уравнение удобно решить возведением в квадрат, но делать это нужно осторожно: операция может добавить посторонние корни. Например, из \(|f(x)|=g(x)\) после условия \(g(x)\ge0\) можно получить \(f^2(x)=g^2(x)\), однако найденные значения всё равно проверяют в исходном уравнении.
Если встречается квадрат модуля, используем \(|f(x)|^2=f^2(x)\). Это часто превращает задачу в квадратное уравнение, для которого может понадобиться дискриминант или теорема Виета. Простые линейные случаи решаются как линейные уравнения.
Полезны и преобразования: \(|f(x)|=|g(x)|\) равносильно совокупности \(f(x)=g(x)\) и \(f(x)=-g(x)\). Если слева и справа стоят неотрицательные выражения, иногда можно возвести обе части в квадрат без изменения смысла, но итоговую проверку отменять нельзя.
Один модуль и число справа — применяйте правило двух случаев. Несколько линейных модулей — разбивайте числовую прямую по нулям выражений. Одинаковые модули по обе стороны — используйте формулу \(|f|=|g|\). Квадрат модуля — заменяйте его на квадрат выражения.
1. Забывают, что \(|f(x)|\ge0\), и получают решения при отрицательной правой части. 2. Раскрывают \(|f(x)|\) как \(f(x)\) без проверки знака. 3. При нескольких модулях не делят прямую на промежутки. 4. При возведении в квадрат не проверяют корни в исходном уравнении. 5. Путают совокупность «или» с системой «и»: из \(|f|=a\) получаются два альтернативных уравнения.
Перед записью ответа подставьте каждый корень в исходное уравнение. Особенно важно это после возведения в квадрат, сокращения выражений или умножения на выражение, которое может быть равно нулю.
Тренировка и самопроверка
Быстрый тест
Главное
- Модуль раскрывается по знаку выражения: \(|f|=f\) при \(f\ge0\) и \(|f|=-f\) при \(f<0\).
- Уравнение \(|f(x)|=a\) при \(a\ge0\) заменяется двумя уравнениями \(f(x)=a\) или \(f(x)=-a\).
- При нескольких модулях сначала находят нули выражений под модулями и разбивают числовую прямую на промежутки.
- Возведение в квадрат может упростить решение, но требует условия неотрицательности и проверки корней.
- Ответ всегда проверяют в исходном уравнении.