Линейное уравнение
Линейное уравнение — это уравнение, в котором неизвестная входит только в первой степени. Чтобы решить его, выполняют преобразования уравнений и находят все значения неизвестной, превращающие равенство в верное.
Формула и число корней
Если коэффициент при неизвестной ненулевой, то переносим свободный член в правую часть и делим обе части на \(a\): \(ax=-b\), поэтому \(x=-\frac{b}{a}\). Это единственный корень.
| Условие | Полученное равенство | Число корней |
|---|---|---|
| \(a\ne0\) | \(x=-\frac{b}{a}\) | Один |
| \(a=0\), \(b\ne0\) | \(b=0\) — неверно | Нет корней |
| \(a=0\), \(b=0\) | \(0=0\) — верно при любом \(x\) | Бесконечно много |
В задачах уравнение часто сначала приводят к виду \(ax+b=0\): раскрывают скобки, собирают слагаемые с \(x\) в одной части, а числа — в другой. Такие действия сохраняют множество решений, если выполнены правильно. Понятие корня уравнения помогает проверить ответ подстановкой.
Решим уравнение \(3(x-2)+5=2x+1\). Раскрываем скобки: \(3x-6+5=2x+1\). Переносим неизвестные влево, числа вправо: \(3x-2x=1+1\), откуда \(x=2\). Проверка: левая и правая части равны \(5\), значит, корень найден верно.
Линейное уравнение не обязано иметь ровно один корень: при \(a=0\) возможны отсутствие корней или бесконечно много корней. Кроме того, уравнение вида \(ax+b=0\) не является квадратным уравнением, поскольку в нём нет слагаемого с \(x^2\).
Сколько корней имеет уравнение \(0x+7=0\)?
Главное
- Линейное уравнение имеет вид \(ax+b=0\).
- При \(a\ne0\) корень единственный: \(x=-\frac{b}{a}\).
- При \(a=0\) уравнение либо не имеет корней, либо имеет бесконечно много; уравнения с параметрами разбирают отдельно.