Уравнение и его корни
Уравнение — это равенство, содержащее неизвестное. Решить уравнение — значит найти все значения неизвестного, при которых равенство становится верным.
Основные записи
Обычно уравнение записывают так: \(f(x)=g(x)\), где \(x\) — неизвестное, а \(f(x)\) и \(g(x)\) — выражения. Буква, обозначающая неизвестное, называется переменной. Например, в уравнении \(3x-5=10\) неизвестное — \(x\).
Буква \(S\) обозначает множество решений: в него входят только те значения \(x\), которые делают исходное равенство верным. Например, запись \(S=\{5\}\) означает, что единственный корень уравнения равен \(5\).
Решим уравнение \(2x+3=11\). Вычтем \(3\): \(2x=8\). Разделим обе части на \(2\): \(x=4\). Проверка: \(2\cdot4+3=11\), значит, \(4\) — корень, а множество решений: \(S=\{4\}\).
Корень — это отдельное значение переменной, а множество решений — все корни, записанные вместе. Например, у уравнения \(x^2=9\) два корня: \(-3\) и \(3\), поэтому \(S=\{-3;3\}\). Нельзя записывать только один из них.
Каково множество решений уравнения \(x-7=0\)?
При преобразовании уравнения важно сохранять его решения. Перенос слагаемого из одной части в другую выполняют с изменением знака, а обе части можно умножать или делить на одно и то же ненулевое число. Такие действия изучают в теме равносильные уравнения. Деление на выражение с переменной требует осторожности: оно может быть равно нулю.
Главное
- Уравнение — равенство с неизвестным.
- Корень превращает уравнение в верное равенство; все корни образуют множество решений.
- После решения нужно проверить найденные значения в исходном уравнении.