Задания № 13, 18 · ЕГЭ

Посторонний корень

Как возникают посторонние корни и как проверить решение

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Посторонний корень уравнения — это число, полученное в процессе решения, но не являющееся решением исходного уравнения. Он появляется, когда преобразование изменяет множество допустимых решений, поэтому найденные значения всегда нужно проверять подстановкой в исходное уравнение.

Посторонний кореньСлово «посторонний» означает «не относящийся к исходному уравнению».

Посторонний корень — это корень преобразованного уравнения, который не удовлетворяет исходному уравнению или не входит в область допустимых значений. В отличие от обычного корня, он не является решением уравнения и его корнями.

Почему появляются посторонние корни

Чаще всего причина — неравносильное преобразование. Например, при возведении обеих частей в квадрат могут исчезнуть ограничения на знак: равенство \(a=b\) влечёт \(a^2=b^2\), но обратное утверждение неверно. Поэтому особенно внимательно проверяют решения иррациональных уравнений, где часто избавляются от корня возведением в квадрат.

Возведение обеих частей уравнения в чётную степень.
Умножение или деление на выражение, которое может быть равно нулю.
Сокращение множителя, содержащего неизвестную.
Игнорирование области допустимых значений: например, знаменатель не может быть равен нулю, а выражение под чётным корнем — отрицательным.

\[\text{корень является решением} \iff \text{он удовлетворяет исходному уравнению и ОДЗ}.\]

№

Пример: проверка обязательна

Решим \(\sqrt{x+1}=x-1\). Возводим в квадрат: \(x+1=(x-1)^2\), откуда \(x=0\) или \(x=3\). Проверяем исходное уравнение: при \(x=0\) получаем \(1=-1\) — неверно, поэтому \(0\) посторонний корень. При \(x=3\): \(2=2\), значит, \(3\) — единственный корень.

Не путайте с отсутствием корней

Посторонний корень не означает, что уравнение вообще не имеет решений. В примере число \(0\) отброшено после проверки, но число \(3\) осталось. Если после проверки не подошло ни одно найденное значение, тогда исходное уравнение не имеет корней.

Как обнаружить посторонний корень

Сначала выпишите ОДЗ, затем выполните преобразования и получите кандидатов. После этого подставьте каждый кандидат именно в исходное уравнение, а не в преобразованное. Подходящие значения запишите в ответ, неподходящие исключите.

Проверь себя

Как поступить с корнем, полученным после возведения уравнения в квадрат?

Главное за минуту

Главное

Посторонний корень удовлетворяет преобразованному, но не исходному уравнению.
Основные причины — возведение в квадрат, потеря ограничений и деление на выражение, которое может быть нулём.
После решения проверяйте каждый найденный корень в исходном уравнении с учётом ОДЗ.