ЕГЭОГЭ
РУҚА
Задания № 13, 18 · ЕГЭ

Показательное уравнение

Определение и основные способы решения
2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Показательное уравнение — это алгебраическое уравнение, в котором неизвестная содержится в показателе степени. Его решают с помощью приведения степеней к одному основанию, замены переменной или сравнения показателей.

Показательное уравнениеНазвание связано с показателем степени: именно в нём находится неизвестная.
Уравнение вида \(a^{f(x)}=b^{g(x)}\) или содержащее такие выражения, где \(a>0\), \(a\ne1\), а неизвестная \(x\) входит в показатель степени. Значения переменной, при которых равенство верно, называют корнями уравнения.

Основные способы решения

Перед решением полезно выполнить преобразование уравнений: разложить числа на простые множители, применить свойства степеней и проверить область допустимых значений.

  1. Если обе части можно представить как степени одного основания, используют свойство: при \(a>0\) и \(a\ne1\) из \(a^u=a^v\) следует \(u=v\).
  2. Если встречаются одинаковые выражения, например \(2^x\) и \(4^x\), вводят замену \(t=2^x\). При этом обязательно учитывают условие \(t>0\).
  3. Иногда уравнение удобно решить графически или свести к сравнению монотонных функций, но в школьных заданиях чаще достаточно первых двух способов.
\[a^u=a^v\Longleftrightarrow u=v,\qquad a>0,\ a\ne1\]
№
Пример

Решим уравнение \(3^{2x-1}=27\). Представим \(27\) как \(3^3\): \(3^{2x-1}=3^3\). Основания одинаковы, значит, \(2x-1=3\), откуда \(x=2\). Проверка: \(3^{2\cdot2-1}=3^3=27\).

!
Не путайте

Показательное уравнение не равно логарифмическому уравнению. В показательном уравнении неизвестная находится в показателе степени, а в логарифмическом — под знаком логарифма или в его основании. При замене \(t=a^x\) нельзя забывать условие \(t>0\).

Проверьте себя

Какое равенство можно получить из \(5^{x+2}=5^7\)?

Главное за минуту

Главное

  • Показательное уравнение содержит неизвестную в показателе степени.
  • Основные приёмы — привести степени к общему основанию или выполнить замену переменной.
  • При замене \(t=a^x\) учитывают \(t>0\), а найденные корни проверяют в исходном уравнении.