Логарифмическое уравнение
Логарифмическое уравнение — это уравнение, в котором неизвестная содержится под знаком логарифма или в его основании. Решая такое уравнение, сначала находят область допустимых значений (ОДЗ), затем выполняют преобразования уравнений и обязательно проверяют полученные корни.
Основное правило
ОДЗ записывают до преобразований. Например, для уравнения \(\log_{f(x)}g(x)=h(x)\) нужны условия \(f(x)>0\), \(f(x)\ne1\) и \(g(x)>0\). После решения исходного или преобразованного уравнения все найденные значения проверяют по ОДЗ.
Часто применяют переход к показательной форме: \(\log_a b=c \Longleftrightarrow a^c=b\), где \(a>0\), \(a\ne1\), \(b>0\). Если после преобразований появляется значение, не входящее в ОДЗ, это посторонний корень.
Решим уравнение \(\log_2(x-1)=3\). ОДЗ: \(x-1>0\), то есть \(x>1\). Переходим к показательной форме: \(x-1=2^3=8\), поэтому \(x=9\). Проверка: \(9>1\), значит, ответ \(x=9\).
Нельзя сокращать или приравнивать выражения под логарифмами, если основания не совпадают или не выполнены условия существования логарифмов. После базового понятия можно перейти к странице решение логарифмических уравнений, где разобраны более сложные приёмы.
Какое условие обязательно для выражения \(\log_{x-2}(5-x)\)?
Главное
- Сначала находите ОДЗ: аргумент логарифма положителен, основание положительно и не равно единице.
- Используйте равносильность логарифмов с одинаковым основанием или переход к показательной форме.
- После решения проверяйте корни по ОДЗ, чтобы исключить посторонние значения.