Логарифмические системы
Логарифмическая система — это система уравнений, в которой неизвестные входят в основания, аргументы или значения логарифмов. Для её решения сначала находят область допустимых значений, затем используют замену переменной, свойства логарифмов или переход к равносильной системе.
Что проверить сначала
Для каждого логарифма \(\log_{a}b\) должны выполняться условия \(a>0\), \(a\ne1\), \(b>0\). Поэтому до преобразований составляют ОДЗ — область допустимых значений логарифмического выражения. После получения ответа полезно выполнить проверку в исходной системе.
Основные способы решения
- Замена переменной. Если повторяется выражение, например \(\log_2x\), обозначают его через \(t\), решают полученную алгебраическую систему, а затем возвращаются к \(x\).
- Использование свойств логарифма. Произведение, частное или степень преобразуют с помощью формул, изученных при преобразовании логарифмических выражений.
- Переход от равенства логарифмов к равенству аргументов. При одинаковом допустимом основании из \(\log_a f(x)=\log_a g(x)\) следует \(f(x)=g(x)\).
- Сведение к системе без логарифмов. После перехода к показательной форме получают обычные алгебраические уравнения и затем отбрасывают значения, нарушающие ОДЗ.
Решим систему \(\begin{cases}\log_2x+\log_2y=3,\\ \log_2x-\log_2y=1.\end{cases}\) Обозначим \(u=\log_2x\), \(v=\log_2y\). Тогда \(u+v=3\), \(u-v=1\), откуда \(u=2\), \(v=1\). Значит, \(x=2^2=4\), \(y=2^1=2\). Ответ: \((4;2)\). Условия \(x>0\), \(y>0\) выполнены.
Система логарифмических уравнений отличается от одного логарифмического уравнения несколькими связанными условиями: решение должно удовлетворять каждому уравнению одновременно. Нельзя отдельно объединять корни разных уравнений без проверки.
Какое условие обязательно для выражения \(\log_{x-1}(2x+3)\)?
Главное
- Сначала составьте ОДЗ для всех логарифмов.
- Используйте замену переменной, свойства логарифмов и переход к показательной форме.
- Проверяйте найденные решения в исходной системе: ОДЗ и оба уравнения должны выполняться.